2017
橘子：今天，請(qǐng)到了一位數(shù)學(xué)大牛，來(lái)回答問(wèn)題：為啥很多孩子小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)很好，到了初高中卻會(huì)落下？
這位大牛就是咱們的花友@昍爸（讀音：xuān），中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)博士、前南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)教授，可謂“根正苗紅”的數(shù)學(xué)教育專業(yè)人士。
他自己數(shù)學(xué)也特別好：在初中和高中時(shí)曾獲得全國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)賽一等獎(jiǎng)，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學(xué)考了滿分。
現(xiàn)在家有兩位小朋友，對(duì)怎么教孩子數(shù)學(xué)，也有不少實(shí)踐心得。還曾利用業(yè)余時(shí)間撰寫文章，普及奧數(shù)與數(shù)學(xué)教育，著有《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》等書。
《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》這本書獲得了科技部2020年全國(guó)優(yōu)秀科普作品獎(jiǎng)，得到了院士、長(zhǎng)江學(xué)者、杰青等多位科學(xué)家的推薦。公眾號(hào)：昍爸說(shuō)數(shù)學(xué)與計(jì)算思維
前段時(shí)間，小花生直播間也邀請(qǐng)到了昍爸，和大家聊“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的誤區(qū)“這個(gè)主題，反響很熱烈。（微信內(nèi)掃描二維碼，就可以直接看完整的直播回放了）
這兩天，我們繼續(xù)跟進(jìn)采訪了這位數(shù)學(xué)教育專家，請(qǐng)他就“小學(xué)學(xué)習(xí)誤區(qū)”這個(gè)主題做進(jìn)一步的闡述：
“聽君一席話，勝讀十年書”。非常建議大家仔細(xì)讀讀這篇文章，花10分鐘的時(shí)間，搞明白一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道理，無(wú)論是孩子或是家長(zhǎng)，也許都會(huì)少走不少?gòu)澛贰?/span>
訪談涉及校內(nèi)數(shù)學(xué)的考試分析，校內(nèi)各階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)該學(xué)什么等一系列經(jīng)驗(yàn)和建議。非常貨真價(jià)實(shí)，今天，咱們一起來(lái)看！
01
為什么有些小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)好的孩子，到了初高中數(shù)學(xué)會(huì)跟不上進(jìn)度呢？能不能舉例分析下？
昍爸：其實(shí)回答這問(wèn)題特簡(jiǎn)單：因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)所謂的“好”是假象。
小學(xué)階段的考試是過(guò)關(guān)考試而不是選拔性考試，區(qū)分度低。特別是期末考試，講究皆大歡喜，因此遍地高分是常態(tài)。這是兩年多前一次期末考試后六年級(jí)家長(zhǎng)們?cè)谌豪飯?bào)告的信息。
坐標(biāo)：長(zhǎng)沙
英語(yǔ)：54人：100分38人，90-99.5分15人，86.5分1人，均分99.1分；
數(shù)學(xué)：54人：34個(gè)100分，均分97.7分；
語(yǔ)文：54人：7個(gè)100分，均分96.3分。
坐標(biāo)：南京
數(shù)學(xué)：39人：14個(gè)100分，7個(gè)99分。
坐標(biāo)：海淀
數(shù)學(xué)：全班最低94分。
坐標(biāo)：杭州
自家娃：數(shù)學(xué)100，英語(yǔ)100，科學(xué)99，語(yǔ)文91（作文寫砸了）；
班級(jí)情況：數(shù)學(xué)100分很多，平時(shí)考七十幾分的也接近滿分了。
放眼望去，大片的100分和99分，這虛假的繁榮確實(shí)容易讓人癡迷其中無(wú)法自拔。但如果你真因此相信自己的孩子數(shù)學(xué)好，那就輸了。
小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有限，這類考試通?？嫉亩际亲鲞^(guò)的題型，常常只是簡(jiǎn)單換個(gè)數(shù)字或場(chǎng)景，因此記住一些結(jié)論、口訣或公式就特別有用。
在這一階段，就對(duì)分?jǐn)?shù)的貢獻(xiàn)來(lái)說(shuō)，孩子的記憶力足以彌補(bǔ)甚至超越對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解。
我舉兩個(gè)小例子：
第一個(gè)是植樹問(wèn)題。
一條小路長(zhǎng)36米，在這條小路的一側(cè)每隔6米種一棵數(shù)，那么從頭到尾一共可以種多少棵樹？
第一次孩子答36÷6=6，錯(cuò)了。后來(lái)老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，要在除法結(jié)果的基礎(chǔ)上再加1。這樣幾次下來(lái)，即便孩子不理解這加的1到底是啥，他也能正確回答類似的問(wèn)題。
第二個(gè)是正方體不同構(gòu)的展開圖問(wèn)題。
第一次，孩子可能花好長(zhǎng)時(shí)間勉強(qiáng)枚舉了8種，其中還有兩種是同構(gòu)的。好一點(diǎn)的老師可能會(huì)費(fèi)九牛二虎之力講解整個(gè)枚舉過(guò)程，但最后發(fā)現(xiàn)依舊有不少同學(xué)沒法不重復(fù)不遺漏地枚舉所有情況，于是干脆教了個(gè)口訣。
正方體展有規(guī)律，十一種類看仔細(xì)；
中間四個(gè)成一行，兩邊各一無(wú)規(guī)矩；
二三緊連錯(cuò)一個(gè)，三一相連一隨意；
兩兩相連各錯(cuò)一，三個(gè)兩排一對(duì)齊。
一條線上不過(guò)四，田七和凹要放棄；
相間之端是對(duì)面，間二拐角面相鄰。
正方體不同構(gòu)的展開圖
這樣一來(lái)，許多原來(lái)枚舉不全的孩子都會(huì)了，老師也不用再費(fèi)口舌解釋。僅從提升分?jǐn)?shù)的角度而言，后面這種方法勝出。
但最重要的是什么呢？記住這11種展開圖對(duì)我們的認(rèn)知有什么額外的幫助嗎？
答案是沒有。
怎么有序地去列出這11種展開圖，為什么只有這11種展開圖，什么樣的展開圖算同構(gòu)？這些問(wèn)題才是最重要的。如果只背個(gè)口訣，那就完全掩蓋了學(xué)習(xí)的本質(zhì)。
這也是為什么一大批名校在錄取后，還要重新組織摸底考試的原因。小學(xué)的這種考試成績(jī)，實(shí)在說(shuō)明不了什么。
考試本來(lái)就應(yīng)該有點(diǎn)考試的樣，讓人人都滿分的考試危害有二：一是蒙蔽了家長(zhǎng)和孩子，讓大家不能及早清楚地認(rèn)識(shí)自我、擺平心態(tài)；二是它助長(zhǎng)了不正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。
這么一路考下去，到了初高中，就開始有問(wèn)題了。
因?yàn)槌醺咧械臄?shù)學(xué)，特別是高中數(shù)學(xué)，知識(shí)點(diǎn)更多，更抽象。
就拿數(shù)來(lái)說(shuō)，引入了虛數(shù)的概念，虛數(shù)在英文里是imaginary number的意思，就是想象中的數(shù)。這個(gè)時(shí)候，如果我們學(xué)虛數(shù)只在數(shù)的范疇里機(jī)械地學(xué)它的運(yùn)算法則，那很多問(wèn)題是沒法解決的。我們需要把虛數(shù)的幾何意義搞清楚，建立知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，做好數(shù)形結(jié)合，這樣往往能起到四兩撥千斤的作用。
虛數(shù)計(jì)算例子
僅依靠記憶，很多知識(shí)在頭腦中只是一個(gè)個(gè)的點(diǎn)，這對(duì)于應(yīng)付小學(xué)的過(guò)關(guān)型考試問(wèn)題不大，但如果不能通過(guò)理解把這些點(diǎn)連成線，再把線織成知識(shí)網(wǎng)，那是很難應(yīng)對(duì)高考這種選拔性考試的。
02
那能不能拓展講講，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科時(shí)，小學(xué)、初中、高中，不同階段的重點(diǎn)是什么？
昍爸：好的，那我分階段來(lái)說(shuō)說(shuō)：
1、小學(xué)數(shù)學(xué)，以數(shù)、形、計(jì)算和應(yīng)用為主
小學(xué)階段的東西基本都是我們?nèi)粘Ｄ芘龅玫胶陀玫蒙系摹?/span>
這個(gè)階段，我們可以在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活場(chǎng)景之間建立密切的聯(lián)系，用形象和生動(dòng)的案例來(lái)加深孩子對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。
同時(shí)，除了要把計(jì)算基礎(chǔ)打牢，把基本概念理解清楚，更要把學(xué)到的東西應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，這也就是小學(xué)階段有很多應(yīng)用題的緣故。
當(dāng)然，除了知識(shí)本身，類比和歸納是小學(xué)階段需要重點(diǎn)培養(yǎng)的元能力。比如，買水果的時(shí)候，我們都會(huì)先試吃一下，吃了覺得好才會(huì)購(gòu)買，這就是一種歸納思維。
新版小學(xué)數(shù)學(xué)課本中關(guān)于計(jì)算的部分
2、初中數(shù)學(xué)，更注重是邏輯思維和抽象思維
比如，代數(shù)方面從具體的數(shù)的運(yùn)算過(guò)渡到了用符號(hào)表示的多項(xiàng)式運(yùn)算，幾何方面從計(jì)算周長(zhǎng)和面積等具體的應(yīng)用過(guò)渡到了純粹的演繹推理證明。特別是幾何證明，它對(duì)學(xué)生建立公理化體系、形成邏輯思維、提升思維嚴(yán)密性很重要。
不過(guò)就知識(shí)點(diǎn)而言，初中階段的數(shù)學(xué)相對(duì)于高中來(lái)說(shuō)還是比較少的。在這個(gè)階段，課上學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)距離我們的日常生活就遠(yuǎn)了一點(diǎn)，我們要稍微站得高一點(diǎn)，理解整個(gè)初中數(shù)學(xué)的體系。
比如，在數(shù)的方面，要理解從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程；在幾何方面，要了解平面幾何的公理化系統(tǒng)。
初中數(shù)學(xué)，常見一些幾何證明
3、高中數(shù)學(xué)，高度抽象是其代名詞
整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)的體系性和抽象性明顯加強(qiáng)，體現(xiàn)在概念的抽象、體系的完備、思維的高度。比如數(shù)，從實(shí)數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)充到了人造的復(fù)數(shù)域，虛數(shù)的英文叫imaginary number，意思是存在于想象中的數(shù)。
高中開始出現(xiàn)的虛數(shù)i
引入虛數(shù)僅僅是為了解決運(yùn)算的完備性，它在我們的生活中本來(lái)是不存在的！類似于集合、映射、函數(shù)等概念也都是抽象的知識(shí)，在平時(shí)生活中基本上用不到，因此理解的難度一下子就上升了。
比如，初中階段也學(xué)習(xí)函數(shù)，但無(wú)論是一次還是二次函數(shù)，都可以直觀地表示在坐標(biāo)系中，還是可以看得見摸得著的；但高中一下子就從集合和映射的角度抽象概括出函數(shù)的本質(zhì)，有解析式的函數(shù)類型也是五花八門，更有對(duì)于無(wú)解析式的抽象函數(shù)性質(zhì)的研究。
集合與映射
相比于初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的節(jié)奏也明顯加快。初中數(shù)學(xué)，往往在某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)上停留較長(zhǎng)時(shí)間，相同題型可以給較多的時(shí)間反復(fù)訓(xùn)練，而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多，一個(gè)主干眾多枝丫，例如，高一講了集合之后，接著講函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性……接踵而來(lái)，沒有時(shí)間作過(guò)多的停留。
與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的靈活性和難度也明顯加大。如果說(shuō)初中數(shù)學(xué)還能靠總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和反復(fù)訓(xùn)練相同題型拿高分的話，高中數(shù)學(xué)重復(fù)刷題的效果會(huì)大打折扣。
要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)，一定要注重理解和分析，理解清楚概念的本質(zhì)內(nèi)涵，搞透概念與概念之間的聯(lián)系，遇到問(wèn)題基于邏輯分析而不是套用題型。很多人初中數(shù)學(xué)能考個(gè)不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)，到了高中就直線下滑，就是學(xué)習(xí)方法不當(dāng)和分析問(wèn)題能力欠缺所致。
03
那么，從中高考的數(shù)學(xué)要求倒推，小學(xué)數(shù)學(xué)該怎么“學(xué)”、要學(xué)些什么呢？
昍爸：小學(xué)數(shù)學(xué)以數(shù)、形、計(jì)算和應(yīng)用為主，與生活密切相關(guān)，知識(shí)點(diǎn)本身并不是很多。如今，面對(duì)社會(huì)的焦慮，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的已經(jīng)不是做了什么，而是不做什么。
首先，不要囫圇吞棗似地超前學(xué)。現(xiàn)在市面上有一種說(shuō)法，說(shuō)是甭管懂不懂，先吞下去再說(shuō)，后面回過(guò)來(lái)再慢慢消化。我個(gè)人不支持這種做法，正所謂基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖，特別是不能超越思維能力去學(xué)習(xí)高階的東西。
其次，不要習(xí)慣于投喂解題技巧的教學(xué)，這種教法不適合學(xué)生鍛煉思維；最后，不要沉溺于偏題、怪題。
與之相對(duì)的，就是我們?cè)摳墒裁础?/span>
首先，要等思維發(fā)展到一定的程度才去學(xué)相應(yīng)的內(nèi)容，特別要注意形象思維到抽象思維的發(fā)展分界線；
其次，要學(xué)習(xí)思考和解決問(wèn)題的方法，感受數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過(guò)程，體會(huì)思考的威力、成就和樂(lè)趣；
最后，相比于偏題怪題，了解整個(gè)數(shù)學(xué)的體系、數(shù)學(xué)的用途以及數(shù)學(xué)的發(fā)展史，對(duì)孩子更有益處。
如果非要從中高考來(lái)倒推的話，小學(xué)階段可以在下面幾個(gè)方面下功夫：
1、利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。
這種興趣不是簡(jiǎn)單地認(rèn)為數(shù)學(xué)好玩，而是切實(shí)地感受到數(shù)學(xué)有用，體會(huì)到思考的威力，享受思考的樂(lè)趣。建立在深度思考之上的興趣才能更長(zhǎng)久。
數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，又回歸生活。生活中的數(shù)學(xué)孩子看得到摸得著，解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題也能培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)興趣，提升孩子的成就感。
其實(shí)，我在《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》里面講了很多這方面的例子，比如：坐飛機(jī)時(shí)，為什么飛機(jī)的往返飛行時(shí)間不一樣？小學(xué)門口接孩子的標(biāo)牌為什么要那么設(shè)計(jì)？抽五張牌，抽到順子和同花的可能性哪個(gè)更高？
這些問(wèn)題能激發(fā)孩子的好奇心，一旦好奇心起來(lái)了，去搞清楚背后的原因是順理成章的事。
2、從小加強(qiáng)對(duì)孩子的數(shù)感、量感、空間感的培養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)的感覺和敏銳性很多時(shí)候會(huì)影響到數(shù)學(xué)的解題。
可以不夸張地說(shuō)，數(shù)感和量感是決定大部分孩子日后數(shù)學(xué)高度的最重要因素。數(shù)感和量感強(qiáng)，學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)輕松許多，反之，則會(huì)困難得多，考試也會(huì)感到異常吃力。
數(shù)感，顧名思義，就是一個(gè)人對(duì)數(shù)的感覺（常常會(huì)與直覺關(guān)聯(lián)），是對(duì)數(shù)字含義的感知，進(jìn)行心算、估算、觀察世界和進(jìn)行比較的能力。
學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為，數(shù)感是一個(gè)人理解、關(guān)聯(lián)、連接和使用數(shù)的能力，包括：
知道它們的相對(duì)值，能夠比較兩個(gè)數(shù)的大?。?/span>
如何使用它們做出正確判斷；
在加減乘除時(shí)如何靈活地使用它們；
如何在計(jì)數(shù)、測(cè)量或估算時(shí)制定有用的策略。
早年發(fā)展起來(lái)的強(qiáng)烈數(shù)感是學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，因?yàn)樗鼘?shù)數(shù)與數(shù)量聯(lián)系起來(lái)，鞏固和完善對(duì)多和少的理解，幫助孩子估計(jì)數(shù)量和測(cè)量值，并為更高階的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
相反，缺乏良好數(shù)感的學(xué)生，數(shù)學(xué)通常學(xué)不好。數(shù)感在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所扮演的角色就好比是自然拼讀里的音素意識(shí)在閱讀中的角色。
游戲?qū)τ诩訌?qiáng)和發(fā)展兒童的早期數(shù)感非常有用。在玩中學(xué)，孩子會(huì)興趣滿滿?，F(xiàn)在市面上有很多好玩的游戲教具，就是一種思路。
在數(shù)學(xué)新課標(biāo)修訂中，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)量感培養(yǎng)，被賦予與數(shù)感培養(yǎng)同等重要的地位：符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感、空間意識(shí)、幾何直觀、推理意識(shí)、運(yùn)算能力、模型意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)，再加應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。
量感的培養(yǎng)，有助于學(xué)生理解量的概念，體會(huì)量的大小，加強(qiáng)對(duì)數(shù)量的感知，提高估算能力。
這話說(shuō)起來(lái)很簡(jiǎn)單，比如100米、100千克、10米/秒等，都可以進(jìn)行直觀認(rèn)知。然而，即便是大家所熟知的單位，有些量之間的關(guān)系也讓人驚訝。比如大家都能直觀感受1立方米和1毫升?？?立方米是1毫升的1百萬(wàn)倍啊！
怎么才能培養(yǎng)孩子的量感呢？
一方面，在課堂教學(xué)和日常生活中要學(xué)會(huì)用合理的量來(lái)描述所觀測(cè)到的物體的長(zhǎng)度、大小、重量、速度、溫度等。
比如看到一只兔子跑步，我們要知道大概可以用米或分米來(lái)表示兔子的體長(zhǎng)，用多少千克來(lái)表示兔子的重量，用米/秒或千米/小時(shí)來(lái)描述它奔跑的速度。而當(dāng)兔子跳進(jìn)一個(gè)裝滿水的盆子洗澡時(shí)，要知道用立方分米來(lái)描述溢出的水的體積。
另一方面，對(duì)于我們難以直觀感知的量，我們要善于類比，通過(guò)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，將它們轉(zhuǎn)變成我們可以直觀感知的量，從而間接地感知這些陌生的量。
比如，地球到太陽(yáng)的距離1.49×1011米，這是什么概念呢？我們大概模糊地知道很長(zhǎng)，但到底有多長(zhǎng)呢？
網(wǎng)上有這樣的太陽(yáng)系示意圖，地球和太陽(yáng)之間的距離好像就是地球直徑的幾倍。但這不是真實(shí)情況。
地球的直徑為12742公里=1.27×107米，所以地日距離就相當(dāng)于11700個(gè)地球直徑的長(zhǎng)度。地球的直徑差不多是中國(guó)到美國(guó)的飛行距離，也就是說(shuō)，如果我們坐飛機(jī)，那差不多12個(gè)小時(shí)就能從中國(guó)飛抵美國(guó)，按照這個(gè)速度，從地球飛到太陽(yáng)需要整整16年！
3、加強(qiáng)基本概念和基本原理的理解，比如位值的概念，基本運(yùn)算律，面積的概念和基本求法，讓孩子自小懂得掌握本質(zhì)和原理比學(xué)會(huì)一些雕蟲小技更重要。
學(xué)好數(shù)學(xué)，搞清楚基本概念非常重要。其實(shí)，基本概念的重要性不僅僅是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都一樣重要。
已故的南大計(jì)算機(jī)系泰斗級(jí)人物徐家福先生就非常強(qiáng)調(diào)基本概念。他每次給學(xué)生做講座，都要強(qiáng)調(diào)“基本概念、基本概念、基本概念！” 沒錯(cuò)，每次他都會(huì)重復(fù)三遍。
歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理，從而構(gòu)成一個(gè)演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學(xué)大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關(guān)系）、公理、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。
很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，其實(shí)最終考察的是對(duì)基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點(diǎn)本末倒置了。
這里列舉幾個(gè)例子。
比如，提到圓，很多人都會(huì)立刻想到圓的周長(zhǎng)和面積公式，而往往忽略了一個(gè)最重要的性質(zhì)，即圓上的任何一點(diǎn)到圓心的距離都相等。
再如，高中時(shí)學(xué)的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時(shí)候，這些幾何含義往往可以成為解決問(wèn)題的利器。
重視結(jié)論背后的原理
我自己學(xué)數(shù)學(xué)，很少刻意去背公式和記結(jié)論。自己不理解的結(jié)論，很難記住，即便一時(shí)記住，也容易忘記或記錯(cuò)。
比如小學(xué)低年級(jí)的植樹問(wèn)題、乘法分配律，我肯定會(huì)通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。
我記得某個(gè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，用了個(gè)警察抓小偷的故事來(lái)輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？
8X(6+4)=8X6+8X4
4、提升計(jì)算能力，以應(yīng)對(duì)初高中幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的運(yùn)算量。
計(jì)算肯定枯燥是肯定的，但計(jì)算關(guān)必須要過(guò)。初中、高中的計(jì)算量會(huì)很大，不過(guò)計(jì)算關(guān)會(huì)吃大虧。
小學(xué)階段可以通過(guò)玩一些游戲來(lái)提升計(jì)算能力，另外，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)游戲有許多，可以帶娃在玩中學(xué)。比如計(jì)算類的24點(diǎn)，多點(diǎn)妙算，心算大師、美國(guó)跳棋等；幾何類的七巧板，數(shù)學(xué)折紙，磁力方塊等；邏輯類的數(shù)獨(dú)、漢諾塔、九連環(huán)等。
通過(guò)美國(guó)跳棋里的兩個(gè)骰子，自然就能把20以內(nèi)的加法練好了
5、重視過(guò)程而不是一味追求結(jié)果，注重解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，特別是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從錯(cuò)誤到正確的探索過(guò)程。
需要拷問(wèn)自己：所采用的方法是否可以擴(kuò)展？比如當(dāng)問(wèn)題規(guī)模n=10的時(shí)候方法可以用，當(dāng)問(wèn)題規(guī)模n=1000的時(shí)候方法還能不能用？
永遠(yuǎn)要問(wèn)自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學(xué)會(huì)分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言，效率和普適性往往是一對(duì)矛盾體。
變換角色，把自己當(dāng)成出題人。想一想如果自己來(lái)出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。
如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學(xué)解題能力想不提升都難。
最后
昍爸寫的這幾本數(shù)學(xué)課外讀物，
也許能給孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)新的啟發(fā) ...
昍爸目前一共出了四本書，給大家推薦的是《寫給孩子的數(shù)學(xué)之美》、《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》和《給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課》。
這幾本書的適合人群：小學(xué)中高年級(jí)和初中的孩子；具有小學(xué)數(shù)學(xué)水平且希望以正確方法輔導(dǎo)孩子數(shù)學(xué)的家長(zhǎng)；所有希望能重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)并欣賞數(shù)學(xué)之美的人。
這三本書各有側(cè)重。
第一本《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》主要圍繞“思維自疑問(wèn)和驚奇開始”這一核心理念鋪開。
數(shù)學(xué)源于生活、高于生活、又回歸生活。小學(xué)數(shù)學(xué)與生活緊密相關(guān)。書中通過(guò)眾多現(xiàn)實(shí)生活中的案例，比如“飛機(jī)的往返飛行時(shí)間為什么不同，科幻電影里導(dǎo)演為什么選用質(zhì)數(shù)作為不同文明間交流的信號(hào)，學(xué)校門口接孩子的標(biāo)牌設(shè)計(jì)有什么學(xué)問(wèn)”等，為家長(zhǎng)、教師和孩子詮釋了如何在生活中踐行新課標(biāo)所提倡的“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”這一核心素養(yǎng)。
第二本《給孩子的數(shù)學(xué)解題思維課》可以算是對(duì)波利亞的名著《怎樣解題》的拙劣模仿。
《怎樣解題》使用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體去闡述數(shù)學(xué)思維，而我這本書則嘗試用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，講清楚從讀題開始到分析評(píng)價(jià)的整個(gè)解題思考過(guò)程。美國(guó)教育家布魯姆總結(jié)出了認(rèn)知的6個(gè)層次：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。大部分人也就能到理解和應(yīng)用的層次，這本書則希望能把認(rèn)知的層次提升到分析和評(píng)價(jià)層次。
（注：這本書和第一本封面長(zhǎng)得很像，但其實(shí)是側(cè)重點(diǎn)完全不同）
寫第三本《寫給孩子的數(shù)學(xué)之美》的一個(gè)動(dòng)機(jī)是來(lái)源于20多年前大學(xué)數(shù)學(xué)老師宋方敏教授的一句話：人來(lái)到這個(gè)世界，就是為了欣賞它的美。
世界的美有很多種，其中有一種叫數(shù)學(xué)之美。這種美和藝術(shù)之美或自然之美沒有那么相似，但它深深地感染著人類的心靈。數(shù)學(xué)之美，是很自然地、明白地?cái)[著的，但遺憾的是許多人終其一生都未能欣賞這種美。
這本書是希望僅具備小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的人也能欣賞數(shù)學(xué)內(nèi)在的思維之美、感覺之美、證明之美、統(tǒng)一之美。如果我們不從事數(shù)學(xué)及相關(guān)行業(yè)，很多中學(xué)和大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)終究會(huì)被忘掉。當(dāng)一個(gè)人把在學(xué)校學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)忘掉后，剩下的就是數(shù)學(xué)教育所賦予我們的。這也正是在人工智能時(shí)代我們需要重視的能力，也是我這本書重點(diǎn)闡述的內(nèi)容：類比、歸納、舉一反三、深度思考的能力，以及對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的敬畏與欣賞。
-THE END-
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2017
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