2017
檁子：開學在即，爹媽的眼光又開始轉向學習。最近不少花友希望我們多提供一些和學科學習策略有關的內容。
語數(shù)外三科中，大家最操心的還是數(shù)學：
英語有非常成熟的“原版路線”，小學畢業(yè)前實現(xiàn)“英語自由”，照著做就可以了（實踐攻略小花生App上應有盡有）；
- 語文有點像“玄學”，不容易把握也就順其自然了；
- 而數(shù)學這門課，學得好，在中國的考試升學體系里占有極大優(yōu)勢；換言之，如果掉鏈子，因而后果也有點嚴重。
普通家庭怎么“雞”娃數(shù)學？今天請來一位非常懂得教人數(shù)學的“大牛”，跟我們做一手訪談：數(shù)學怎么學，奧數(shù)學不學？
這位大牛就是咱們的花友@昍爸（讀音：xuān），中國科學院計算機博士、前南京師范大學計算機教授，可謂“根正苗紅”的數(shù)學教育專業(yè)人士。
自己數(shù)學也特別好：在初中和高中時曾獲得全國數(shù)學奧林匹克聯(lián)賽一等獎，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學考了滿分。
現(xiàn)在家有兩位小朋友（6歲和13歲），對怎么教孩子數(shù)學，也有不少實踐心得。還曾利用業(yè)余時間撰寫文章，普及奧數(shù)與數(shù)學教育，著有《給孩子的數(shù)學思維課》等書。
這本書獲得了科技部2020年全國優(yōu)秀科普作品獎，得到了院士、長江學者、杰青等多位科學家的推薦。公眾號：昍爸說數(shù)學與計算思維
最近我們特別采訪這位數(shù)學教育專家，請他來談談孩子怎么學好數(shù)學。
訪談涉及12個問題，涉及數(shù)學學習興趣和思維培養(yǎng)、校內各階段數(shù)學學習，奧數(shù)進階等一系列經(jīng)驗和建議。今天，咱們一起來看！
01
數(shù)學競賽第一名，高考滿分！
很好奇，您自己是如何開啟數(shù)學啟蒙的？
昍爸：哈哈，確實不少人對我的數(shù)學啟蒙經(jīng)歷很好奇。
我小時候讀的是正兒八經(jīng)的村小，沒有受過任何校外數(shù)學訓練。在村小讀書時，有一年教我們數(shù)學的是代課教師。印象最深的是有一次我在課上聽著聽著就發(fā)現(xiàn)老師講錯了，于是舉手指出他的錯誤。
在爭論中老師很生氣，趕我出去，我立馬收拾書包跑回家了，整整三天都沒有上學。后來老師讓同學來勸說……我這才重新回到了學?！，F(xiàn)在回想起來，這種敢于質疑的精神非常可貴，敢于質疑老師、質疑書本。
小時候雖然沒有玩具，但我從小特別喜歡干兩件事——玩撲克和下象棋，那時經(jīng)常和小伙伴們一起打牌下棋。這兩項活動對于訓練邏輯思維和數(shù)學能力都能起到非常好的作用。
比如，棋類游戲除了需要局部的最優(yōu)策略取得局部戰(zhàn)斗的勝利，更需要有全局觀，也就是數(shù)學上講的整體思維
我覺得在我的學習過程中，沒有學習過什么套路。那為什么最后高考數(shù)學能得滿分呢？其實這本是個假問題。習慣于學套路才難以得滿分，而遠離套路才有可能走得更遠。
我沒有奧數(shù)啟蒙老師，壓箱底的解題秘訣就一條：把“題型沒見過”當成一種常態(tài)，從簡單開始、從特殊開始、從錯誤開始，從簡單到復雜，從特殊到一般，從錯誤到正確。如果非要用高大上的語言來貼個金，那就是歸納推理和類比推理。演繹推理是后來慢慢才習得的一種能力。
02
接下來的問題，都是關于孩子的數(shù)學學習了。
首先，可以怎樣在生活中引導孩子發(fā)現(xiàn)有趣的數(shù)學（能不能舉幾個例子）
昍爸：數(shù)學源于生活，高于生活，又回歸生活。生活中的數(shù)學孩子看得到摸得著，解決生活中的數(shù)學問題也能培養(yǎng)孩子的數(shù)學興趣，提升孩子的成就感。
其實，我在《給孩子的數(shù)學思維課》里面講了很多這方面的例子，比如：坐飛機時，為什么飛機的往返飛行時間不一樣？小學門口接孩子的標牌為什么要那么設計？抽五張牌，抽到順子和同花的可能性哪個更高？
這些問題能激發(fā)孩子的好奇心，一旦好奇心起來了，去搞清楚背后的原因是順理成章的事。
但引導并不容易，我建議家長可以從三個方面來嘗試：
1、重視生活中的巧合
巧合最能激起人的神秘感，從而引發(fā)探索行為。而且，巧合在生活中無處不在。
隱藏在巧合背后的原因有兩種：一種其實不是巧合，而是必然，那背后就有它的原理；另一種則是概率。我講過一個自己生活中碰到的案例。
之前我家住在18層的第5層，有一次我要下樓，發(fā)現(xiàn)樓里的兩個電梯分別停在1樓和9樓。因為1樓和9樓的電梯距離我的層數(shù)相同，我就會琢磨到底是哪個電梯來接我。
很多人認為是9樓，但事實是1樓的電梯來接我了，而且它不是偶然，這個事件連續(xù)出現(xiàn)了四五次，每次都是1樓的來接我。
那我自然就會思考：1樓的電梯來接我有沒有什么好處？
事實是有的，因為1樓的電梯接完我后兩個電梯依然是位于1樓和9樓，而如果是9樓的來接我，接完后兩個電梯均位于1樓，顯然后者是不好的狀態(tài)，不利于高樓層的用戶。
2、注重觀察生活
華羅庚先生說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學。這充分說明了數(shù)學與生活的高度融合。
我們2022年的新課標對數(shù)學核心素養(yǎng)的要求是這么說的：
會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；
會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；
會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。
可以看到，“核心素養(yǎng)”高度強調數(shù)學和現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系。
事實上，歷史上一些數(shù)學學科的發(fā)展和一些難題的提出，也來源于生活。
比如幾何學的發(fā)展就始于尼羅河流域的人們對土地測量的需求，拓撲學的創(chuàng)立起源于哥尼斯堡散步的人們提出的七橋問題，而四色問題則來自于一名地圖著色工作人員的觀察和總結。
四色原理：一張地圖，如果用一種顏色對一個地區(qū)著色，那么一共只需四種顏色就能保證每兩個相鄰的地區(qū)顏色不同
我舉個照片打印機的例子。之前我買了個照片打印機，孩子發(fā)現(xiàn)在打印過程中，相紙會先后進出三次。
第一次出來，相紙上離散地覆蓋上了不同明亮度的黃色，第二次出來時，相紙在黃色上的基礎上疊加了粉紅色，最后一次出來，完整的照片就打印好了。
這背后其實就是離散化表示的數(shù)學問題。
3、注重數(shù)學實驗
很多人認為實驗是物理、化學的事，數(shù)學只要腦子想就行，其實不然。數(shù)學實驗能增加感性認識，對孩子也更具吸引力，另外實驗過程中的試錯也是一種可貴的經(jīng)歷。
比如布豐投針實驗，怎么就跟圓周率有關系呢？很多人不信，但通過實驗統(tǒng)計后卻不得不接受這個結論，然后自然會激發(fā)一些人思考的熱情。
布豐投針實驗：設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板（如上圖），隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。并以此概率，布豐提出的一種計算圓周率的方法——隨機投針法。
還有上面提到的四色問題，也有不少人不相信這個結論，希望能找出一個圖至少要用五種顏色才能涂色。這個過程就是一種探索，當然其中會出錯，但我們要鼓勵。
03
家長平常能做些什么，幫助孩子養(yǎng)成數(shù)學思維？
昍爸：家長如果有能力，可以在生活中多引導；如果苦于沒有案例，那可以在類似《給孩子的數(shù)學思維課》這樣的書里尋找一些合適的案例。
家長如果本身沒有能力引導，那就多聽一些專業(yè)人士的建議，給孩子創(chuàng)造一些自我探索的機會。千萬不要聽信市面上一些虛假和錯誤宣傳把孩子往歧途上領，特別是把孩子的時間都塞滿。
我很喜歡一種說法：孩子的大腦不是一個等待填充的容器，而是一支期待點燃的火把。數(shù)學思維的培養(yǎng)是一個長期的過程，沒有捷徑。凡是那些鼓吹速成的，都要警惕。
另外，現(xiàn)在的數(shù)學游戲有許多，可以帶娃在玩中學。比如計算類的24點，多點妙算，心算大師、美國跳棋等；幾何類的七巧板，數(shù)學折紙，磁力方塊等；邏輯類的數(shù)獨、漢諾塔、九連環(huán)等。
通過美國跳棋里的兩個骰子，自然就能把20以內的加法練好了
04
上了中小學后，怎樣脫離“死算”和記公式做題，
真正養(yǎng)成數(shù)學思維模式解題？
昍爸：“死算”這個說法不好。所謂“死算”我的理解是笨辦法，我是鼓勵要去經(jīng)歷的。碰到一個問題，首先要想想用最笨的辦法能不能做出來，這個實際上是對自己能力的一種評估。
當然，起于“死算”，但不能止于“死算”。要習慣于在“死算”后復盤和總結：“死算”的方法適用性如何，可擴展性如何？
在復盤的過程中，看看有哪些地方是可以優(yōu)化的，如果擴展性很差，那就要跳出來再思考一下能不能換個角度，有沒有更好的方法。
只有經(jīng)歷這個過程，思維的提升才是實實在在的。我們日后解決問題也都是從最笨的辦法開始逐步優(yōu)化，一般不會一次性就找到最好的辦法。
另外，如果只記得公式和結論肯定不是學習數(shù)學的好方法。公式和結論要記，但更要知道公式和結論的適用條件，以及結論的推理過程。
比如很多孩子在培訓機構記住了一個結論“差小積大”，但卻忘了前提條件，也就是要“和固定”。
從而，在做類似于下面這樣的問題時就容易出錯：
有12根長1米的棍子，現(xiàn)在要就著一面圍墻圈一個長方形，請問圈出的面積最大是多少？
05
在學習數(shù)學這門學科時，
小學、初中、高中，不同階段的重點是什么？
昍爸：好的，那我分階段來說說：
1、小學數(shù)學，以數(shù)、形、計算和應用為主
小學階段的東西基本都是我們日常能碰得到和用得上的。
這個階段，我們可以在學習的數(shù)學知識和生活場景之間建立密切的聯(lián)系，用形象和生動的案例來加深孩子對數(shù)學知識的理解。
同時，除了要把計算基礎打牢，把基本概念理解清楚，更要把學到的東西應用于解決現(xiàn)實中的問題，這也就是小學階段有很多應用題的緣故。
當然，除了知識本身，類比和歸納是小學階段需要重點培養(yǎng)的元能力。比如，買水果的時候，我們都會先試吃一下，吃了覺得好才會購買，這就是一種歸納思維。
新版小學數(shù)學課本中關于計算的部分
2、初中數(shù)學，更注重是邏輯思維和抽象思維
比如，代數(shù)方面從具體的數(shù)的運算過渡到了用符號表示的多項式運算，幾何方面從計算周長和面積等具體的應用過渡到了純粹的演繹推理證明。特別是幾何證明，它對學生建立公理化體系、形成邏輯思維、提升思維嚴密性很重要。
不過就知識點而言，初中階段的數(shù)學相對于高中來說還是比較少的。在這個階段，課上學的數(shù)學知識點距離我們的日常生活就遠了一點，我們要稍微站得高一點，理解整個初中數(shù)學的體系。
比如，在數(shù)的方面，要理解從自然數(shù)到實數(shù)的數(shù)系擴充過程；在幾何方面，要了解平面幾何的公理化系統(tǒng)。
初中數(shù)學，常見一些幾何證明
3、高中數(shù)學，高度抽象是其代名詞
整個高中階段數(shù)學的體系性和抽象性明顯加強，體現(xiàn)在概念的抽象、體系的完備、思維的高度。比如數(shù)，從實數(shù)進一步擴充到了人造的復數(shù)域，虛數(shù)的英文叫imaginary number，意思是存在于想象中的數(shù)。
高中開始出現(xiàn)的虛數(shù)i
引入虛數(shù)僅僅是為了解決運算的完備性，它在我們的生活中本來是不存在的！類似于集合、映射、函數(shù)等概念也都是抽象的知識，在平時生活中基本上用不到，因此理解的難度一下子就上升了。
比如，初中階段也學習函數(shù)，但無論是一次還是二次函數(shù)，都可以直觀地表示在坐標系中，還是可以看得見摸得著的；但高中一下子就從集合和映射的角度抽象概括出函數(shù)的本質，有解析式的函數(shù)類型也是五花八門，更有對于無解析式的抽象函數(shù)性質的研究。
集合與映射
相比于初中數(shù)學，高中數(shù)學的節(jié)奏也明顯加快。初中數(shù)學，往往在某一個知識點上停留較長時間，相同題型可以給較多的時間反復訓練，而高中數(shù)學內容多，一個主干眾多枝丫，例如，高一講了集合之后，接著講函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關系、函數(shù)的單調性、奇偶性……接踵而來，沒有時間作過多的停留。
與初中數(shù)學相比，高中數(shù)學的靈活性和難度也明顯加大。如果說初中數(shù)學還能靠總結知識點和反復訓練相同題型拿高分的話，高中數(shù)學重復刷題的效果會大打折扣。
要想學好高中數(shù)學，一定要注重理解和分析，理解清楚概念的本質內涵，搞透概念與概念之間的聯(lián)系，遇到問題基于邏輯分析而不是套用題型。很多人初中數(shù)學能考個不錯的分數(shù)，到了高中就直線下滑，就是學習方法不當和分析問題能力欠缺所致。
06
孩子不喜歡計算怎么辦？
如何提高計算能力？
昍爸：計算肯定枯燥是肯定的，但計算關必須要過。初中、高中的計算量會很大，不過計算關會吃大虧。
幼兒階段可以通過玩一些游戲來提升計算能力，比如24點；還有一些計算的桌游，如心算大師。我專門在公號里寫過一篇文章《玩出來的計算能力：普娃的計算進階路線圖》，有興趣的也可以去翻一翻。
通過”怪獸襪子工廠“這個桌游來鍛煉“99乘法”
07
消化新的數(shù)學題型時，短時間內的大量練習（即刷題），
會有幫助嗎，該怎么把握這個度？
昍爸：刷題肯定會有幫助，所謂勤能補拙嘛，這一點年級越低，效果越明顯。
但到了高中，刷題對成績的提升效果就存在邊界遞減效應了。因為高中的題型變化大，出現(xiàn)相同題型的概率越來越小，這時候就需要能以不變應萬變，切切實實提高自己分析問題的能力，把做過的每一道題吃透，做到舉一反三和融會貫通。
08
當娃數(shù)學學有余力時，要不要提前學？
昍爸：關于提前學的問題，這個其實不好回答。
因為孩子的大腦發(fā)育和認知是有共性規(guī)律和個性特點的，我們的教材編排是以大部分孩子的大腦發(fā)育和認知規(guī)律為基礎的，但具體到每個孩子又有其特殊性。
有些孩子的大腦發(fā)育得早，可以被稱為早慧，那提前學沒有問題，畢竟小學的數(shù)學知識還是以具象思維為主，提前一兩個學期甚至兩三年都有可能。
《心靈捕手》劇照，電影主角是個數(shù)學天才
但如果抽象思維還沒有形成就試圖去學習比較抽象的數(shù)學知識，那是有問題的，我就見過一些小學中年級就號稱自學初中數(shù)學的孩子，不少基本概念的理解就有問題。
這個時候，家長一定要對自己的孩子有一個客觀的判斷，切勿隨波逐流。當然，如果抽象思維形成了，那后面的數(shù)學學習進度適當加快是可以的。
09
09
大家都說學奧數(shù)，要智商高才可以，你怎么看？
幾年級開始學奧數(shù)比較好？
昍爸：第一個問題其實從數(shù)學上來說是原命題和逆命題的關系。原命題正確，逆命題不一定正確。一般來說，奧數(shù)學得好的智商都不差；但反過來，智商高的不一定能學好奧數(shù)或者說數(shù)學。
其實我們不需要全民奧數(shù)，普娃先把課內數(shù)學學好，適當做一下提升就可以。
家長們自雞奧數(shù)，首先也要在方向上要搞明白：什么是奧數(shù)？大方向搞錯了，再努力也白搭。
我比較認同最近熱播的電視劇《天才基本法》里老林的一段說法：奧數(shù)是在你們遇到困難的時候，讓你們放棄那些高階的工具，像那些先賢一樣，用突破性思維解決問題的方法。
最近很火的關于奧數(shù)的電視劇《天才基本法》
但現(xiàn)在市面上有不少“奧數(shù)”教材和課程則恰恰相反，熱衷于知識下放，用高階的工具去解決問題。
至于說幾年級開始，我覺得什么時候開始都不晚，具體看個人資歷和意志。有人努力三年也抵不上其他人潛心修煉三個月。但至少有一點，孩子得愿意“想”，會“想”，外加一股韌勁。如果不具備這些品質，就先不要學奧數(shù)了。
10
小學三四年級，家長們自雞奧數(shù)可以怎么做；
有什么方法、教材和資源推薦嗎？
關于突破性思維的培養(yǎng)，小學階段可以看我的《給孩子的數(shù)學解題思維課》，配合一本習題冊，比如《高思導引》，題目可以從三星的開始，如果覺得簡單，三星的可以少做一點，嘗試四星的，有余力的可以挑戰(zhàn)一下五星的。
我最怕聽到家長對孩子說的就是：這類題型掌握了嗎？如果學奧數(shù)最終變成比拼誰見過的題型多，那不如不學。林群院士講的一句話值得大家思考：少則多，多則少。
做題不在多，在于學會思考，學會想，了解到“想”的力量。重要的不是記住那些數(shù)學公式和做題快慢，重要的是“想”的過程。
做題的時候，最好把《給孩子的數(shù)學解題思維課》里提到的解題閉環(huán)整個一套方法應用到實戰(zhàn)中，這樣的效果會倍增，真正做到觸類旁通，一通百通。
11
高年級學奧數(shù)：
除了報班找老師，找資料，家長可以怎樣助力孩子的奧數(shù)學習？
尤其是年級高了，題目家長也不會做，靠孩子自學可以嗎？
昍爸：中學階段，則可以看波利亞的《怎樣解題：數(shù)學思維的新方法》。
波利亞是美國著名數(shù)學家，他發(fā)現(xiàn)的波利亞計數(shù)定理是近代組合數(shù)學的重要工具；他還是杰出的數(shù)學教育家，他對數(shù)學思維一般規(guī)律的研究貢獻極大，這本書就是其對數(shù)學思維研究的集大成。
小學高年級的題目不會做的家長，最好在中低年級也不要指導孩子具體的學習。很多時候，自己原本不正確的學習方法會潛移默化地影響孩子。
如果孩子能力強，自學也不是不可以，但一定要遵循“觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、論證”這一理性思維的范式。不過建議還是找有經(jīng)驗的老師帶一下，有名師指點會事半功倍。
都說師傅領進門，修行在個人。很多人說學生最后能達到的學習高度，學生占70%，教師占30%。但這不是說教師不重要，名師的作用是不可忽視的。
電影《為人師表》劇照
你看郭靖，跟著江南七怪的時候，柯鎮(zhèn)惡就是他的天花板，但得到了洪七公等名師的指點后，只有他自己才是自己的天花板。
12
最后，作為一個也在一線輔導娃的父親，
您在帶娃學數(shù)學，或學習上有什么心得想和大家分享嗎？
昍爸：帶娃心得的話，大概有這樣幾條：
1、父母不要成為解決問題的“庸醫(yī)”
在數(shù)學學習上，考試成績差這一癥狀的原因各種各樣：語文理解能力欠缺，粗心（包括看錯題、看漏條件、計算錯誤、答案謄寫錯誤等），列式不合理，最后才是真正不會做。
但消除病因的手段卻相去甚遠。碰到問題，很多父母的做法就是給孩子做加法，但有時候恰恰適得相反。
這時，不妨嘗試做做減法。有段時間，我就主動和老師溝通，請求老師允許孩子少做作業(yè)。給孩子做減法，需要我們做父母的有足夠的膽略和勇氣。
2、不要只重視做錯的題，在做對的題上也要花功夫
大家都知道用錯題本去強化錯題的訂正，但很少有人會對孩子做對的題給予額外的關注。我的做法則有別于大家：無論是正確的還是錯誤的題，只要有價值，都要給予同等的重視。
即便是做對的題，也要引導他從多角度思考，并比較各種方法的優(yōu)劣，并通過改變前提達到舉一反三的效果。有時，甚至要鼓勵標新立異，發(fā)散孩子的思維。
3、成為孩子興趣的放大器和助推器
大家可能經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)孩子關注或沉迷與一些大人眼中與學習成績無關的”不務正業(yè)“的事情。此時，如果粗暴地勒令其停止將會是一種糟糕的做法。低年級的孩子能夠獨立專研一件事情難能可貴。
你會發(fā)現(xiàn)，由好奇心和興趣驅動的學習專研能讓孩子在短時間內迅速了解一個領域，甚至成為在這一方面勝過大人的“小專家”。這一快速學習能力恰恰是孩子日后所需要的。父母應該成為孩子興趣的放大器和助推器，而不是滅火器。
圖是昍爸孩子自己用樂高組建的主機
最后想說，即便是錯的，也要允許孩子充分表達自己的想法，并從中洞悉孩子的邏輯，分析他理解里正確的和錯誤的成分，從而真正因地制宜的引導。
- THE END -
這位“數(shù)學專家爸爸"的想法做法
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