說(shuō)說(shuō)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的淺見(jiàn)

（太長(zhǎng)，慎讀）本文對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽不做全面探討，只說(shuō)說(shuō)目前我的一些看法。沒(méi)有啥速成的東西，只有大局觀的內(nèi)容，看完后不能指望能得到立竿見(jiàn)影的方法。我的認(rèn)識(shí)也在不斷變化，一年后恐怕又有很多不同，到時(shí)候再補(bǔ)充吧。

按理說(shuō)我這個(gè)水平來(lái)說(shuō)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，是非常勉強(qiáng)的。雖然當(dāng)年參加競(jìng)賽也有不少收獲，高中數(shù)學(xué)物理都能在省里拿一等獎(jiǎng)，但畢竟沖不出省，在行家面前難免露怯。究其原因，還是小鎮(zhèn)做題家的出身，沒(méi)有大局觀，訓(xùn)練不系統(tǒng)。不過(guò)好在大學(xué)以后受到了了較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，后來(lái)在網(wǎng)絡(luò)時(shí)代又獲得幾乎無(wú)窮電子書(shū)，大大拓寬了視野，估摸水平和大部分當(dāng)年能參加國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的比也不落下風(fēng)了。最近兩年一直在考慮雞娃數(shù)學(xué)競(jìng)賽的問(wèn)題，又回頭看了一些中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的書(shū)籍和網(wǎng)上討論，憋了兩三年后終于覺(jué)得能粗淺談?wù)剬?duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的看法了。不光是經(jīng)驗(yàn)，還有很多教訓(xùn)，說(shuō)些掏心窩子的話。

如果非要用一句話來(lái)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)的話，那就是： 中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽如果要深入搞，必須由有大學(xué)數(shù)學(xué)乃至更高視野的人來(lái)指導(dǎo)，否則很容易效率低下，甚至走火入魔。

首先要明確的是搞中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目的到底是啥？是為了高考加分（不清楚現(xiàn)在是否還有加分了，就算有也不會(huì)很多吧），保送，還是純粹為了興趣，或者為了提升數(shù)學(xué)或者一般性的邏輯思維能力。我當(dāng)年也是糊里糊涂的，小學(xué)參加了競(jìng)賽成績(jī)還湊合，但是覺(jué)得有些無(wú)聊，到了初中就不想?yún)⒓樱髞?lái)被老師督促著參加，覺(jué)得有意思了，就一直堅(jiān)持下去了。雖然并沒(méi)有多少直接收益，但是對(duì)增強(qiáng)信心、提高大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率還是有一定幫助的。參加競(jìng)賽本身的效率不高，因?yàn)閷W(xué)習(xí)很不系統(tǒng)，學(xué)校老師也不具備大學(xué)數(shù)學(xué)視野。如果我能穿越回去指導(dǎo)當(dāng)年的我，進(jìn)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)?wèi)?yīng)該有較大把握，即便不能進(jìn)最后的幾人國(guó)家隊(duì)。這就是為啥奧賽金牌多出自那些名牌中學(xué)的原因。有老師能提供系統(tǒng)資料按規(guī)律學(xué)習(xí)，和大多數(shù)時(shí)間自己找資料自學(xué)，天壤之別。

我個(gè)人覺(jué)得靠數(shù)學(xué)競(jìng)賽保送好學(xué)校，對(duì)大多數(shù)人而言可能并不劃算，機(jī)會(huì)太少，付出太多。應(yīng)該抱著參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽提升數(shù)學(xué)思維能力的目的，如果能取得好成績(jī)乃至保送，當(dāng)然更好了。數(shù)學(xué)能力提升，是終生受益的。參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽需要花費(fèi)大量時(shí)間，同樣的時(shí)間用來(lái)提高高考成績(jī)很可能更合算。

參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的負(fù)面效果不僅僅是花費(fèi)時(shí)間。有一個(gè)問(wèn)題很少為人所注意并重視： 在中學(xué)初等數(shù)學(xué)上過(guò)度刷題訓(xùn)練，會(huì)限制甚至鎖死一個(gè)人數(shù)學(xué)能力的上限。這是我上面說(shuō)深搞競(jìng)賽必須由高視野的人來(lái)指導(dǎo)的重要原因。任何一個(gè)人，其數(shù)學(xué)能力早晚會(huì)碰到天花板。有的人初中平面幾何證明題就過(guò)不去了，歐拉則是發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想太難就果斷放棄了。我常常想到底是什么因素決定一個(gè)人的上限？原因可能是多方面的。比如思維勤快與否。我不愿運(yùn)動(dòng)，跑幾百米就累了，堅(jiān)持不下去了。但是我知道只要持之以恒，每天多跑點(diǎn)，不用多久我也能跑個(gè)五千一萬(wàn)米下來(lái)，一旦突破閾值，跑著不但不累，還很舒服。但是我就是不愿運(yùn)動(dòng)。復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)題，需要連續(xù)推導(dǎo)，就類似長(zhǎng)跑，有些人一聽(tīng)數(shù)學(xué)就累，連續(xù)推導(dǎo)就更不愿意，其實(shí)這個(gè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練也能堅(jiān)持下來(lái)，甚至在連續(xù)推到中越推導(dǎo)越愉悅，進(jìn)入良性循環(huán)了。這種情況不是過(guò)度刷題，而是刷題太少，其問(wèn)題容易被發(fā)現(xiàn)并重視。我真正想重點(diǎn)說(shuō)的是下一種情況。

鎖死一個(gè)人數(shù)學(xué)能力上限還有另一個(gè)可能的原因：思維定勢(shì)。人類的知識(shí)這幾百年大爆炸，在青少年解決的學(xué)習(xí)內(nèi)容必然精簡(jiǎn)甚至拋棄了很多初等數(shù)學(xué)的東西。試想在微積分出現(xiàn)以前，高等級(jí)學(xué)校的大學(xué)生都只能在現(xiàn)在看來(lái)的初等數(shù)學(xué)里反復(fù)刷題。精簡(jiǎn)拋棄的很多東西，就堂而皇之的進(jìn)入了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，比如歷史上積累了大量數(shù)學(xué)家討論研究的平面幾何證明題。一個(gè)人的腦容量是有限的，過(guò)多的刷初級(jí)知識(shí)，積攢到了一定小時(shí)數(shù)后就進(jìn)入老齡化了，而這些初級(jí)知識(shí)就固化成了本能，即便學(xué)了高級(jí)知識(shí)，也本能的傾向于使用初級(jí)知識(shí)而不是高級(jí)知識(shí)解決問(wèn)題，或者只會(huì)使用初級(jí)知識(shí)里的思維技巧。清代有個(gè)數(shù)學(xué)家偶然得到了歐洲傳來(lái)的幾個(gè)級(jí)數(shù)求和公式，沒(méi)有證明，百思不得其解，于是自己花了很多年構(gòu)造幾何圖形給了巧妙證明。其實(shí)這幾個(gè)公式不過(guò)是泰勒展開(kāi)的幾個(gè)特例而已。這種一題一解的證明再?gòu)?fù)雜再巧妙，也不如給出通用公式在數(shù)學(xué)上的意義重大。初等數(shù)學(xué)的難題刷太多了，不知不覺(jué)會(huì)讓人形成一題構(gòu)造一獨(dú)特解的思維定勢(shì)，而不是尋找一個(gè)更廣的更普遍的問(wèn)題的通用解法。雞兔同籠不會(huì)做，其實(shí)質(zhì)是不會(huì)列線性方程組的普適方法。說(shuō)到雞兔同籠，我本人是不贊成用巧妙方法比如抬起一條腿什么的，應(yīng)該老老實(shí)實(shí)教列方程解題。列方程解題是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)解題三部曲過(guò)程：把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題精確轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，在純數(shù)學(xué)世界里按數(shù)學(xué)規(guī)則進(jìn)行變換，把變換結(jié)果映射回現(xiàn)實(shí)世界得到問(wèn)題解。這才是數(shù)學(xué)的正確打開(kāi)方式。此前的數(shù)數(shù)、加減法等是必要的準(zhǔn)備工作，在條件允許時(shí)應(yīng)該盡早轉(zhuǎn)入標(biāo)準(zhǔn)三部曲。雞兔同籠類的競(jìng)賽題不應(yīng)將學(xué)生困在沒(méi)有方程工具而只能靠巧妙方法解決的低水平上，而應(yīng)該激發(fā)興趣并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)列方程解題這個(gè)高級(jí)工具。對(duì)其他很多競(jìng)賽題，都應(yīng)該有類似認(rèn)識(shí)。  
 

也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題大體分兩類，一類是平面幾何證明題類的，其數(shù)學(xué)本身是個(gè)死胡同，不具有發(fā)展性，也沒(méi)有多少應(yīng)用性，只是娛樂(lè)加訓(xùn)練思維；二類是雞兔同籠式，是某種高級(jí)數(shù)學(xué)工具的在初等數(shù)學(xué)上的投射，競(jìng)賽應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生較早接觸高級(jí)工具。當(dāng)然，具體到一道題目，可能是多種類型的混合體。  
 

丘成桐主持清華招生錄取，就反對(duì)用初等數(shù)學(xué)的競(jìng)賽題考學(xué)生，而是直接考大學(xué)數(shù)學(xué)，其意圖是中學(xué)學(xué)有余力的學(xué)生，與其刷初等數(shù)學(xué)題目，不如直接學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的高級(jí)工具。這種觀點(diǎn)有一定道理，但要注意丘也有自身利益考量，而且這種做法也難免引起過(guò)度內(nèi)卷。究竟應(yīng)該在初等數(shù)學(xué)停留多久，這個(gè)得因人而異。

就雞兔同籠這里再加一段。巧妙方法比如抬起一條腿什么的，也并非完全沒(méi)有意義，至少對(duì)訓(xùn)練思維是有用的。還有就是數(shù)學(xué)家在研究前沿問(wèn)題時(shí)，就像不會(huì)列方程的小學(xué)生面對(duì)雞兔同籠問(wèn)題一樣，是極度缺少必要工具的，需要這種一題一解的能力。飛機(jī)是機(jī)器造的，但最早的飛機(jī)是手工造的。但是絕大多數(shù)人不會(huì)研究前沿?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題，訓(xùn)練思維能力也有很多替代方式，所以我認(rèn)為這些類似看似奇技淫巧的東西要慎用，偶爾閑情逸致玩玩可以，搞多了有可能走火入魔。

前些年我在網(wǎng)上下載數(shù)學(xué)書(shū)給自己看，都是高等數(shù)學(xué)以上的，下了幾千本，草草翻的不少，精讀的不多，好歹對(duì)整個(gè)現(xiàn)有數(shù)學(xué)大廈輪廓有了大致了解。這兩年為雞娃下了不少初等數(shù)學(xué)書(shū)籍，有幾套很早出版的初等數(shù)學(xué)小叢書(shū)之類的，光看書(shū)名和作者就知道是硬貨。這些書(shū)一翻就能體會(huì)到作者的超大學(xué)數(shù)學(xué)視野，內(nèi)容絕不拘泥于解題技巧，而是把一些大學(xué)數(shù)學(xué)的入門東西用中學(xué)生能看懂的淺顯語(yǔ)言寫出來(lái)。我很感慨當(dāng)年要能看到這些書(shū)，今天就不會(huì)只是這般水平了。小鎮(zhèn)做題家的局限就在這了。也許在當(dāng)?shù)馗緵](méi)法買到這些印刷量很小的書(shū)籍，而書(shū)香世家的父母本身就是大學(xué)老師，早早就在書(shū)架上擺了這些書(shū)，而子女耳濡目染，差距在不知不覺(jué)中就拉開(kāi)了。現(xiàn)在看這些書(shū)當(dāng)然覺(jué)得很簡(jiǎn)單，一目十行，一看開(kāi)頭就知道作者想表達(dá)什么，但是細(xì)細(xì)讀的話仍然有不少收益，更別提中學(xué)生了。話說(shuō)回來(lái)，這些書(shū)雖然是給中學(xué)生看的，但也是基礎(chǔ)相當(dāng)好的中學(xué)生才能費(fèi)力看懂的。這些書(shū)真真切切是在給你提高 內(nèi)功而不是各種解題技巧的。即便不參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，閱讀這些書(shū)對(duì)提升能力、適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是大有幫助的。我打印了幾本，時(shí)不時(shí)翻翻作為娛樂(lè)放松，以后隨著娃長(zhǎng)大，還要多打印一些給她翻翻。  
 

什么是大學(xué)數(shù)學(xué)視野？具有大學(xué)數(shù)學(xué)視野的人，俯瞰中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，能很清楚知道每道題想考察什么能力，在數(shù)學(xué)大廈中對(duì)應(yīng)什么東西，哪些重要，哪些不重要。就具體競(jìng)賽輔導(dǎo)而言，經(jīng)過(guò)一定的研究后，能搞清楚各項(xiàng)知識(shí)的學(xué)習(xí)順序，需要掌握的程度，以及是否有知識(shí)點(diǎn)和面的遺漏。更進(jìn)一步，他能跟你講講到大學(xué)后學(xué)些什么，跟這些競(jìng)賽的內(nèi)容有什么關(guān)聯(lián)，激發(fā)你的興趣并讓你更好的看清將來(lái)的路。這些正是我當(dāng)年嚴(yán)重缺乏的。東西榔頭到處敲，憑興趣這里學(xué)一點(diǎn)那里學(xué)一點(diǎn)，知識(shí)沒(méi)有串起來(lái)，能否解題很大程度上靠運(yùn)氣，學(xué)習(xí)的效率非常低下。人類幾千年了，積累的東西太多了，而個(gè)人的生命很短，青少年時(shí)期的學(xué)習(xí)時(shí)間就更短了，再聰明的人沒(méi)有 外界精準(zhǔn)的輔助也是幾乎不可能摸到正途的。高斯可能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式，但是沒(méi)聽(tīng)說(shuō)誰(shuí)小時(shí)候獨(dú)立發(fā)明加減法的?，F(xiàn)在很多名校博士去中學(xué)當(dāng)老師，固然是內(nèi)卷不好，但是對(duì)中學(xué)生的發(fā)展大有好處。  
 

中學(xué)的數(shù)學(xué)大綱，是按照青少年的學(xué)習(xí)年限和一般學(xué)習(xí)能力，篩選已有數(shù)學(xué)知識(shí)后編排而成的。數(shù)學(xué)競(jìng)賽本身就是對(duì)這個(gè)的打破，具有“原罪”，偏離大綱，搞競(jìng)賽的時(shí)候深度和廣度都不好掌握，學(xué)不好的話副作用很大，甚至如上所說(shuō)能力就鎖死在中學(xué)水平，對(duì)將來(lái)影響很大。有人奧賽是巔峰，有人則只是起點(diǎn)，菲爾茲都不是終點(diǎn)。務(wù)必注意奧數(shù)畢竟跟奧運(yùn)會(huì)不一樣，后者是人類體育巔峰，而前者只是中學(xué)生數(shù)學(xué)，遠(yuǎn)不是巔峰。為了體育巔峰損耗身體也許還有些道理，為了數(shù)學(xué)競(jìng)賽而付出較大代價(jià)恐怕是很不值得的。處方藥得醫(yī)生開(kāi)，所以中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽如果要深入搞得話，一定要由具有大學(xué)數(shù)學(xué)視野的人來(lái)指導(dǎo)，這也是本文的一再?gòu)?qiáng)調(diào)的觀點(diǎn)。

這兩年給娃雞數(shù)學(xué)的時(shí)候，我畫(huà)出了兩個(gè)圖景。從具體的3只羊3頭牛，到數(shù)字3，是用一個(gè)數(shù)字概括無(wú)窮多可能；從3+4=4+3和其他交換等式，到代數(shù)a+b=b+a，又是用一個(gè)公式概括無(wú)窮多個(gè)可能；然后上面還有抽象代數(shù)如群論，一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)可以概括無(wú)窮種代數(shù)，等等。這是一個(gè)進(jìn)階圖景。還有就是從加法到乘法再到西格瑪求和再到微積分，另一個(gè)圖景。我常常鼓勵(lì)娃，學(xué)會(huì)了這個(gè)，就離微積分又近了一步，距離“同少年班水平”又接近了一步。對(duì)未知事物的好奇與憧憬的感覺(jué)，是一種難以用語(yǔ)言描述的快感。我很清楚的記得剛學(xué)圍棋時(shí)對(duì)圍棋的未知而產(chǎn)生的好奇感，就像跟美女第一次約會(huì)的感覺(jué)，這種感覺(jué)在以后是再也找不到了。學(xué)會(huì)了一樣?xùn)|西雖然很讓人滿足，但是隨之而來(lái)失去的是無(wú)限多種可能性，以及永遠(yuǎn)失去那種神秘感后的無(wú)限惆悵。前幾年我經(jīng)常夢(mèng)見(jiàn)學(xué)一本高中數(shù)學(xué)書(shū)，里面的東西竟然很難看懂，這就是以前對(duì)高中知識(shí)的憧憬感；數(shù)學(xué)小叢書(shū)之類的書(shū)，明明是跟大學(xué)數(shù)學(xué)接駁的內(nèi)容，高中生得費(fèi)很大力氣才能看懂的書(shū)，但是現(xiàn)在看覺(jué)得太容易了，只能作為消遣，看的時(shí)候精神也振作不起來(lái)，好比孫悟空舞關(guān)公大刀不趁手，也是無(wú)可奈何了。學(xué)會(huì)了的東西沒(méi)法忘了，很多感覺(jué)只能寄希望于在夢(mèng)中重新找到了。

歸巢鳥(niǎo)作于2022年8月2日