中小學(xué)數(shù)學(xué)為什么是這樣的？（上）

這個標(biāo)題寫的很奇怪，其實我問的是，為什么中小學(xué)數(shù)學(xué)是這些內(nèi)容，而不是別的？中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容之間往往缺少聯(lián)系，代數(shù)是代數(shù)，幾何是幾何，這是怎么形成的？為了便于理解，先讀一段西游記中如來對來到西天的唐僧師徒說的話：

我今有經(jīng)三藏，可以超脫苦惱，解釋災(zāi)愆。三藏：有《法》一藏，談天；有《論》一藏，說地；有《經(jīng)》一藏，度鬼。共計三十五部，該一萬五千一百四十四卷。真是修真之徑，正善之門，凡天下四大部洲之天文、地理、人物、鳥獸、花木、器用、人事，無般不載。汝等遠來，待要全付與汝取去，但那方之人，愚蠢村強，毀謗真言，不識我沙門之奧旨?！苯校骸鞍?、伽葉，你兩個引他四眾，到珍樓之下，先將齋食待他。齋罷，開了寶閣，將我那三藏經(jīng)中三十五部之內(nèi)，各檢幾卷與他，教他傳流東土，永注洪恩?！?/p>

細(xì)細(xì)讀這段話，有很多方面顛覆傳統(tǒng)認(rèn)識。首先佛經(jīng)無般不載，佛經(jīng)并不是成天討論些輪回之類的玄乎其玄的東西，而是宇宙大百科全書，是系統(tǒng)的全部相通的知識。其次沒有達到一定水平的人類，沒法學(xué)習(xí)全部，只能從各個部分里選一些學(xué)習(xí)，這些知識可能是零碎不成體系的。但也只能先從這個方式入門學(xué)習(xí)了。

中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)跟這個類似。整個數(shù)學(xué)大廈經(jīng)過人類幾千年的發(fā)展后，各個獨立分支比如代數(shù)幾何都已經(jīng)高度貫通，成了一個極其龐大又有機融洽的整體。面對這么龐大的體系，中小學(xué)在入門的時候只能先從很多零碎孤立的知識點開始學(xué)習(xí)。這種學(xué)習(xí)方法很無奈，學(xué)習(xí)的過程中有心的學(xué)生往往不能理解為什么學(xué)一些代數(shù)，突然又去學(xué)幾何，來回切換。物理學(xué)的學(xué)習(xí)也有這個特點，但物理學(xué)好歹有客觀世界對應(yīng)，學(xué)了力學(xué)又學(xué)熱學(xué)并不奇怪，而數(shù)學(xué)較為抽象，在看到全局大廈之前不容易明白為什么要按教材的順序?qū)W習(xí)。

我不敢說能看到數(shù)學(xué)大廈的全局，但至少在學(xué)習(xí)了不少較為高級的數(shù)學(xué)知識后，回頭去看中小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有半山腰看山底的感覺。數(shù)學(xué)學(xué)的越多，對不同知識點之間的關(guān)聯(lián)就理解的越多。分享一些心得，不敢說是真理，僅僅是個人體會。這些心得不見得對提高中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有直接幫助，但也許會有些啟發(fā)意義，或者對“奧數(shù)”學(xué)習(xí)也有些指導(dǎo)意義。

如前所說，數(shù)學(xué)大廈是一塊整體，為了分析方便，只能強行劃分一下，大致可以分為代數(shù)、幾何、分析、拓?fù)渌拇髩K。劃分方式?jīng)]有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，見仁見智。中小學(xué)學(xué)哪些數(shù)學(xué)知識，跟阿儺伽葉給唐僧師徒挑選經(jīng)書一樣，并沒有絕對或固定的標(biāo)準(zhǔn)，古今不同，中外也不同，而且還要隨著數(shù)學(xué)前沿的發(fā)展和熱點的變遷而變化。

算術(shù)與代數(shù)

算術(shù)可能是最早的數(shù)學(xué)了，隨著生產(chǎn)的提高而產(chǎn)生，人類產(chǎn)生了計數(shù)與加減乘除運算的需要。農(nóng)業(yè)社會下算術(shù)取得的巨大發(fā)展，比如中國古代社會。各種數(shù)的表示法應(yīng)運而生，其中經(jīng)過篩選十進制成了最優(yōu)選擇。用抽象的數(shù)比如3代表各種不同的東西，比如3可以代表3頭牛，也可以代表3只羊，這是數(shù)學(xué)上的第一次抽象，從具體的東西產(chǎn)生了數(shù)的概念，所以我們稱這門學(xué)科為“數(shù)學(xué)”。第二次抽象飛躍是代數(shù)，用符號代替具體的數(shù)，比如X既可以是3，也可以是5。數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律總是從具體到抽象，從特殊到一般。研究更抽象更一般的情況，可以大大減少信息的儲存空間，用較少的原則去處理大量不同的情況。比如1+1=2，可以代表牛的相加，也可以代表羊的相加。

中學(xué)基本就學(xué)到代數(shù)了。跟算術(shù)比，代數(shù)是更高的抽象，那有沒有比代數(shù)更高的抽象呢？當(dāng)然有。代數(shù)上面還有“抽象代數(shù)”，“代數(shù)結(jié)構(gòu)”，“群論”，“環(huán)論”等很多高級的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其中群或環(huán)等是一些抽象的“代數(shù)結(jié)構(gòu)”。我們中小學(xué)學(xué)的實數(shù)上的加減乘除，僅僅是一種特殊的常用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)大廈里還有很多別的代數(shù)結(jié)構(gòu)，代數(shù)結(jié)構(gòu)這門分支就是研究不同代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。比如計算機科學(xué)里用到的0/1運算，叫布爾代數(shù)，就是另一種代數(shù)。在這種代數(shù)里，有與或兩種運算，而且其形式是完全對稱的。（中小學(xué)的算術(shù)里，加法和乘法是不對稱的，從分配律可以看出，只有乘法分配律，而加法分配律A+B最C=(A+B)最(A+C)是錯誤的。但在計算機布爾代數(shù)里，兩個分配律都是正確的）。計算機的發(fā)明與大規(guī)模應(yīng)用，也從一個側(cè)面證明研究不同于我們?nèi)粘＜訙p乘除的別的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是非常有必要的。

群論的天才創(chuàng)始人法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦

群論：https://baike.baidu.com/item/%E7%BE%A4%E8%AE%BA

抽象代數(shù)的研究由于是代數(shù)的拔高，所以能夠解決在代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的很多難題，比如五次（含）以上的一元方程沒有通解公式。抽象代數(shù)還可以解決幾何問題，比如尺規(guī)作圖不能三等分角，不能倍立方。這看起來是幾何問題，但是兩千年內(nèi)在幾何領(lǐng)域無法解決。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)抽象代數(shù)的內(nèi)容可以很好的描述尺規(guī)作圖的能力（直尺和圓規(guī)，類似抽象代數(shù)里的兩個運算），從而一舉解決這個問題。

在本科花了一個學(xué)期艱苦學(xué)完代數(shù)結(jié)構(gòu)這門課后，我曾開玩笑的說，如果先學(xué)完這門課再上中小學(xué)，那算術(shù)代數(shù)根本不需要學(xué)幾年，三個月就夠了，實在是太太太簡單了：）。實際上在數(shù)學(xué)家研究了抽象代數(shù)后，又回過頭去對中小學(xué)的算術(shù)代數(shù)系統(tǒng)進行了深刻研究并將其公理化，嚴(yán)格論證了其合理性。

小學(xué)生在學(xué)加法的時候，最開始可能不理解為什么要相加，為什么相加是對的。學(xué)會了以后，很少有人再去想為什么加法是對的，加法在什么情況下是對的。實際上這不是個簡單問題。對于可數(shù)的東西，比如2只羊加3只羊，2+3=5，問題還算簡單，但是對實數(shù)尤其是無理數(shù)相加，問題很復(fù)雜。幾何計算問題，比如兩塊面積相加，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)角度要定義清楚并不簡單，弄不好就會出Banach–Tarski悖論。（這個悖論就不細(xì)說了，可以理解成一個實體球能分成兩個一模一樣體積的球，這就違反了體積相加原則）。20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)家在勒貝格積分的基礎(chǔ)上完善了測度論，較好的解決了這個問題。測度論是一個更一般的數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)格定義了可測集合可測函數(shù)等概念并研究了上面的性質(zhì)，不僅解決了算術(shù)系統(tǒng)的一些可加性問題，也給出概率論的公理化形式描述（在概率論里要面臨什么時候概率相加，什么時候概率相乘等問題）。實際上概率論是一種測度總和為1的特殊可測系統(tǒng)，而我們?nèi)粘Ｉ钪械那竺娣e體積等，則是另一種測度總和沒有上限的可測系統(tǒng)。

黎曼積分就是最常見的積分形式，一般微積分即學(xué)習(xí)這個。而勒貝格積分（右）的特點是把相同值湊在一起求乘積，再把各個乘積加起來

平面幾何

初中學(xué)的平面幾何，是古希臘人在邏輯學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)明的，與別的民族比顯得很象怪胎。別的民族為了農(nóng)業(yè)研究幾何，處于丈量土地的需求，一般側(cè)重于形狀面積，而不會像古希臘人那樣研究邏輯，甚至尺規(guī)作圖這樣沒有多少現(xiàn)實意義的東西。古希臘歐幾里德著作《幾何原本》里的內(nèi)容，基本就是現(xiàn)在初中平面幾何的框架，是最早的數(shù)學(xué)公理體系，也叫歐式幾何。近代以來，在許多數(shù)學(xué)家的共同努力下，數(shù)學(xué)的各個分支都被嚴(yán)密的公理化了，以保證整個數(shù)學(xué)大廈的自洽性，避免歷史上出現(xiàn)了三次的數(shù)學(xué)危機（第一次由無理數(shù)引發(fā)，第二次由微積分，第三次由集合論。一旦出現(xiàn)危機，那意味著前面辛苦搭建的數(shù)學(xué)大廈早就埋下了矛盾的根子在里面，如不能解決則意味著幾百年努力白費了）。

由于邏輯化的平面幾何非常完美優(yōu)雅，兩千年來一直是數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容并用以訓(xùn)練思維能力。在解析幾何與微積分出現(xiàn)之前，大量的幾何問題通過歐式幾何邏輯方法研究，大大豐富了人類的知識。比如牛頓對萬有引力的推導(dǎo)，就主要用到了大量平面幾何知識，他本人也成為人類頂尖數(shù)學(xué)家。我們看到數(shù)學(xué)競賽里總有一些很難的平面幾何證明題，這些都是兩千年來的積累，有些被直接拿過來出題，有些進行了一些修改。這個領(lǐng)域的題庫是巨大的，中學(xué)課堂上只選取了一些比較簡單的。大學(xué)數(shù)學(xué)基本不會再研究這些東西，因為其公理化的數(shù)學(xué)思想并不復(fù)雜，而難題沒有多少通用性。

幾何原本在明朝由利瑪竇傳入中國，徐光啟翻譯，“幾何”一詞即當(dāng)時的翻譯。

在數(shù)學(xué)大廈里，除了歐式幾何，還有非歐幾何。這是由對歐式幾何中第五公設(shè)（https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%AE%BE?fromtitle=%E7%AC%AC%E4%BA%94%E5%85%AC%E8%AE%BE&fromid=8754490）的否定推出的，主要貢獻者是高斯的學(xué)生黎曼，所以也叫黎曼幾何。非歐幾何的實質(zhì)是曲面空間，比如球面或馬鞍形。數(shù)學(xué)家的研究往往超前于現(xiàn)實，在當(dāng)時很多人覺得從公理體系角度非歐幾何也是自洽的，但是有什么用呢？還是歐式幾何更接近我們的直觀世界。一百年后愛因斯坦在研究廣義相對論時，意識到引力的本質(zhì)是空間的彎曲，從而惡補了幾年非歐幾何，完成了廣義相對論。從此非歐幾何開始被數(shù)學(xué)界重視，成為數(shù)學(xué)大廈里的一顆明珠。

立體幾何

細(xì)心的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)中學(xué)的立體幾何跟平面幾何差異很大，雖然也給出了很多公理定理推論，但是在出題時較少搞復(fù)雜的邏輯證明題，而側(cè)重于計算。從訓(xùn)練邏輯思維的角度出發(fā)，平面幾何的難度就已經(jīng)足夠了，添加輔助線等技巧已經(jīng)很難了。如果在立體幾何里出這樣的題目，難度就太高了，過于奇技淫巧。立體幾何畫圖看圖都很費力，如果學(xué)生給的證明與答案不同，老師批閱起來也夠頭疼的。所以立體幾何沒有搞那么多花哨的東西。

球面積，球體積，球冠面積，球冠體積，錐形體積，這些公式的推導(dǎo)，在中學(xué)立體幾何里都是用了巧妙方法。在大學(xué)學(xué)習(xí)微積分后，都可以用微積分這個通用方法解決。比如回頭再看圓錐體積公式里有個系數(shù)1/3，這實際上就是平方函數(shù)在積分時得到的系數(shù)1/3。微積分里的球面積分環(huán)路積分等，將代數(shù)幾何三角融為一體，非常有意思。積分的對象也可以從實數(shù)空間推廣到復(fù)數(shù)空間，這也是復(fù)變數(shù)函數(shù)復(fù)分析的主要研究內(nèi)容之一。中學(xué)畢業(yè)后再學(xué)習(xí)的立體幾何內(nèi)容，基本上都是跟微積分相關(guān)了。人類自從掌握了微積分這個高級而且通用的工具后，就愛不釋手了。學(xué)會了二元一次方程，誰還用小學(xué)奧數(shù)湊的方法去解決雞兔同籠問題？

各種數(shù)：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)

我將這部分從上面的“算術(shù)與代數(shù)”部分分出來，這里側(cè)重于代數(shù)結(jié)構(gòu)的操作對象，而非運算性質(zhì)。（代數(shù)結(jié)構(gòu)由操作的對象比如具體的數(shù)字和運算比如加減組成）。

數(shù)在歷史上的發(fā)展壯大，主要是從實用出發(fā)（比如整數(shù)不夠用了，必須要用分?jǐn)?shù)表示一部分東西），同時也有理論上的完備性考慮。比如正整數(shù)上的加法具備完備性，怎么加都還是正整數(shù)，但減法就不一定了，兩個數(shù)相減，可能就不是正整數(shù)了，所以必須擴展到負(fù)整數(shù)上。同理整數(shù)上的乘法是完備的，但除法就不行了，于是就導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)，所有這些統(tǒng)稱有理數(shù)。面對數(shù)軸上的一段，比如0到1，有理數(shù)是不是完備的呢？畢達哥拉斯認(rèn)為是的，但有人發(fā)現(xiàn)不是，比如等腰直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理是直角邊的根號2倍，這個數(shù)不是個有理數(shù)。這就是前面說的第一次數(shù)學(xué)危機。后來數(shù)學(xué)家給出了無理數(shù)的嚴(yán)密定義，解決了這個危機。把無理數(shù)包括進來，數(shù)擴展到了實數(shù)。

后來人們發(fā)現(xiàn)了更多的無理數(shù)，比如圓周率。幸福的家庭都是相同的，而不幸的家庭都是不同的。有理數(shù)都顯得差不多，而無理數(shù)之間差異很大，比如根號2和圓周率就大不相同，后者是超越數(shù)，不是任何實系數(shù)一元多次方程的根，比根號2更“無理”。無理數(shù)是妖怪，有很多詭異的性質(zhì)。比如有理數(shù)是可數(shù)（第三聲）的，和正整數(shù)一樣可以按一二三四五到無窮排成一列，但無理數(shù)是不可數(shù)（第三聲）的，不能排成一列（排成一列的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)說法是與正整數(shù)集合形成一一映射）。數(shù)軸上0到1之間有無數(shù)個有理數(shù)，也有無數(shù)個無理數(shù)，每兩個有理數(shù)之間顯然都夾雜著無理數(shù)，那如果把所有有理數(shù)都搬家，讓他們一個挨一個排在一起，長度是多少？這個問題的答案很驚人，是0。也就是說，數(shù)軸上無理數(shù)比有理數(shù)多的多的多，要多無窮倍，有理數(shù)根本不占長度。有理數(shù)好象是一個個無比小的孤島，漂浮在無理數(shù)的廣闊海洋里。如果隨機在數(shù)軸上選一點，選到無理數(shù)的概率“幾乎”是100%?！稄囊坏綗o窮大》這本書里對無理數(shù)的這個性質(zhì)有很多通俗的描述。這個問題的實質(zhì)，是無窮大也有不同層次的無窮大，無理數(shù)在這個意義上要比有理數(shù)更大。我在學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)于可數(shù)與不可數(shù)內(nèi)容時，看到了一個簡潔的證明，然而更嚴(yán)密的論證要在測度論里才能學(xué)到，涉及到勒貝格積分和Borel集合等復(fù)雜的知識。這個問題再深入研究下去，產(chǎn)生連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，是希爾伯特23個問題中的第一個（https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B923%E9%97%AE/8268330?fr=aladdin）。

無理數(shù)畢竟還和數(shù)軸對應(yīng)，而虛數(shù)/復(fù)數(shù)要依靠-1的平方根，對中學(xué)生而言更加難以理解。由于課本和老師不可能解釋清復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)生只能強行學(xué)下去，就當(dāng)-1的平方根存在。從前面說的完備性出發(fā)，復(fù)數(shù)是有必要存在的，否則開根號就不是總能算出結(jié)果的。這個完備性的理由對數(shù)學(xué)家就足夠了，但對普通人似乎還是不滿意。我這里以一元三次方程求根公式為例說明復(fù)數(shù)的必要性：https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F?？梢钥吹?，無論哪個求根公式里，都要出現(xiàn)i即-1的平方根。而且更絕妙的是，有些一元三次方程的三個根明明都是實數(shù)，但卻必須要用帶i的公式才能算出來，在計算過程中共軛復(fù)數(shù)加減會正好把i都消掉，得到實數(shù)解。數(shù)學(xué)女神好像在說，復(fù)空間是真實存在的，實數(shù)空間上的有些問題，必須要繞到復(fù)空間上才能解決，最后又會回到實數(shù)空間。這實際上是用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的常見過程：一旦建模后，推導(dǎo)都在貌似不存在的數(shù)學(xué)世界內(nèi)按數(shù)學(xué)規(guī)則進行，推導(dǎo)的每一步不見得對應(yīng)真實世界，但推導(dǎo)的最終結(jié)果可以映射回真實世界。（列方程解方程，可能是最直觀的例子。）

在工程應(yīng)用上，復(fù)數(shù)最主要的物理含義是相位差，即時間延遲，比如交流電的描述。這是由復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（體現(xiàn)在歐拉公式，下圖）決定的。不過在這個應(yīng)用上，復(fù)數(shù)不是絕對必要的，因為總可以用兩個實數(shù)等價表示一個復(fù)數(shù)，但用復(fù)數(shù)是最簡潔方便的。在這里，復(fù)數(shù)與幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。

在高等數(shù)學(xué)里，復(fù)數(shù)的存在意義是不容置疑的，復(fù)分析和實分析一樣，是數(shù)學(xué)分析里的重中之重。

保角變換：復(fù)變函數(shù)論中的一個有趣結(jié)論（https://baike.baidu.com/item/%E4%BF%9D%E8%A7%92%E5%8F%98%E6%8D%A2/18984738）。

（未完待續(xù)）

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