數(shù)學(xué) | 2的-2次方等于幾？一年級的娃也能自己琢磨出來

前些日子聽說Vita哥哥的小表哥去參加了一個(gè)編程比賽，他媽媽跟我說里面有一道題涉及了負(fù)數(shù)次方的概念，小家伙不懂，所以沒做出來，有點(diǎn)遺憾。

我忽然覺得這是個(gè)很有趣的問題。

負(fù)數(shù)次方其實(shí)并不是一個(gè)獨(dú)立的概念，只不過是把指數(shù)擴(kuò)展到了負(fù)數(shù)而已，就好像我們可以把加減乘除運(yùn)算擴(kuò)展到負(fù)數(shù)一樣，它一定是能夠從已知的一些規(guī)律推導(dǎo)出來的。 

一年半之前，我跟Vita哥哥推導(dǎo)過 兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的規(guī)律 。簡單總結(jié)一下：

首先，我們知道乘法就是連加，那么我們很容易把其中一個(gè)乘數(shù)推廣到負(fù)數(shù)，例如： 
 

如果另一個(gè)乘數(shù)也推廣到負(fù)數(shù)，我們可以把其中一個(gè)負(fù)數(shù)的乘數(shù)寫成兩個(gè)正數(shù)的差，然后用乘法分配律展開：

現(xiàn)在用剛才一個(gè)乘數(shù)是負(fù)數(shù)的計(jì)算方法，分別計(jì)算1x(-5)和8x(-5)，就可以得到(-7)x(-5)=35：

通過這個(gè)例子，娃學(xué)會(huì)了怎樣使用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行推理（盡管這并不是一個(gè)嚴(yán)格的證明），我覺得這是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)能力。

好了，那么這次的問題就是：

我把問題寫在了白板上，希望他能夠嘗試自己想一想。

一開始他也找不著思路，我提示他可以回憶一下，當(dāng)兩個(gè)底數(shù)相同的冪相乘的時(shí)候，指數(shù)是怎樣變化的。有了這個(gè)提示，他最后還真的給做出來了，雖然推理過程寫得十分混亂，你們感受一下：

這個(gè)推理的核心都在畫紅圈的地方，我來替他整理一下。 
 

首先，底數(shù)相同的兩個(gè)冪相乘，指數(shù)是相加的關(guān)系，我看到他在上方寫了幾個(gè)例子，比如102x103=10?，但是令我比較意外的是他把這個(gè)規(guī)律寫成了兩條公式：

Hmm，不簡單吶，說明已經(jīng)有一定的代數(shù)思想了。 
 

后面的推理大致是這樣的：

如果設(shè)a和b互為相反數(shù)，比如2和-2，那么就有：

到這里，他把n用我問題中的數(shù)2代入，于是有：

兩個(gè)數(shù)的乘積等于1，說明它們互為倒數(shù)，因?yàn)?2=4，所以： 
 

Bingo！ 
 

好吧，既然你已經(jīng)有了代數(shù)思維，那不妨進(jìn)一步總結(jié)一下這個(gè)規(guī)律如何？

不錯(cuò)不錯(cuò)，就是這個(gè)啦：

既然有點(diǎn)上道了，那么就再來個(gè)進(jìn)階的吧：

好了，這次是問2的1/2次方等于幾？ 
 

其實(shí)思路跟之前差不多，我就沒多提示了，哄妹妹去午睡，出來之后我看到了這個(gè)： 
 

Bingo！

整理一下：

因?yàn)?的1/2次方乘以它自己等于2，所以2的1/2次方等于2的平方根。

到這里，我們又可以追問了，這個(gè)規(guī)律能不能總結(jié)成公式呢？

基本上能寫出來啦，只不過，a次根號這個(gè)寫法Vita哥哥是不會(huì)的，是我告訴他這么寫的，沒辦法，這個(gè)實(shí)在有點(diǎn)超綱啦。。。

娃在解決這兩個(gè)問題當(dāng)中所展現(xiàn)的代數(shù)思想讓我感覺驚喜了一下下，畢竟代數(shù)屬于比較高級的抽象。

小朋友學(xué)數(shù)學(xué)，首先是從具體的東西開始，比如點(diǎn)數(shù)，或者掰手指來算加減法。接下來，我們要學(xué)習(xí)把數(shù)從具體的東西中抽象出來，也就是說，在算加減乘除的時(shí)候，腦子里關(guān)心的是數(shù)字，而不再是具體的東西了。

再下一步，我們要學(xué)習(xí)把數(shù)的結(jié)構(gòu)和關(guān)系從具體的數(shù)中抽象出來，也就是說，我不再關(guān)心具體是什么數(shù)，我只關(guān)心結(jié)構(gòu)和關(guān)系，什么數(shù)放進(jìn)去都滿足這樣的結(jié)構(gòu)和關(guān)系——這就是代數(shù)。

數(shù)學(xué)就是這樣一層一層抽象上去的，每抽象一層，再看前一層的東西時(shí)，就會(huì)猶如居高臨下，擁有了一個(gè)新的視角。

比如說，說到偶數(shù)和奇數(shù)，從代數(shù)的視角來看，就是2n和2n+1（n是整數(shù)），用這樣的結(jié)構(gòu)去推導(dǎo)很多性質(zhì)就非常容易了，比如 加減法的奇偶性 ；說到一個(gè)三位數(shù)，那就是100a+10b+c（a是1~9的整數(shù)，b、c是0~9的整數(shù)），進(jìn)而你可以由此理解各種進(jìn)制的本質(zhì)……

你看到了更多本質(zhì)的東西，這就是代數(shù)的魅力。

所以，如果娃的抽象思維能力還不錯(cuò)，了解一下代數(shù)的思想還是很有必要的，說不定就打開了什么新世界的大門。

Vita哥哥從圖書館借到了一本很不錯(cuò)的書，他很喜歡看，了解一下：

可怕的科學(xué)·經(jīng)典數(shù)學(xué)系列: 代數(shù)任我行2421人有 · 評價(jià)602 · 書評9[英]卡佳坦·波斯基特 著；[英]菲得浦·瑞弗 繪；李建廣 等 譯北京少年兒童出版社 / 2012-01

可怕的科學(xué)系列應(yīng)該是很有名的，這本講代數(shù)的也是這個(gè)系列一貫的風(fēng)格——各種無厘頭和冷笑話

，娃看完經(jīng)常會(huì)記得這些橋段，比如這張講二次方程解法的圖：

他看完就經(jīng)常跟我叨叨那個(gè)什么“應(yīng)急按鈕”，神秘兮兮的，哈哈，應(yīng)急按鈕到底是啥呢？原來是那個(gè)求根公式：

除此之外這本書還有很多有趣的內(nèi)容，比如帕斯卡三角（楊輝三角）與N次多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系：

以及函數(shù)和圖像：

對于小學(xué)生來說，內(nèi)容雖然還是有點(diǎn)難度的，但是架不住很多地方確實(shí)很搞笑，感興趣的話買一本看看吧。