美國數(shù)學(xué)教育學(xué)博士：怎樣培養(yǎng)孩子的數(shù)感

學(xué)數(shù)學(xué)難道離不開掰手指頭？ 是的！

我讀研究生的時候，做過一次教學(xué)試驗(yàn)，讓一個美國一年級小男生計(jì)算一下6+7=？?？戳丝催@個題目，小男生從容的把一只腳從課桌下面掰上來，脫掉鞋，甩開襪子，然后從手指頭數(shù)到了腳趾頭。

提問：作為家長的你，會如何評價這個小男生？

學(xué)數(shù)學(xué)難道離不開掰手指頭么？這是讓很多家長頭疼的事情。孩子會不會產(chǎn)生依賴？會不會導(dǎo)致無法提高計(jì)算速度？這么算會不會太幼稚太初級呢？

這之后的若干年，項(xiàng)目組的同事們每次回看這段視頻，都忍不住哈哈大笑。從數(shù)學(xué)教育的專業(yè)角度，我們其實(shí)是這么評價和分析的：

第一，他能馬上判斷出答案應(yīng)該在10-15這個區(qū)間內(nèi)（因?yàn)樗撉抑幻摿艘恢恍┱f明他具有不錯的數(shù)感；

第二，他知道在運(yùn)算的過程中借助身邊的工具，把一個抽象的算式具體化。

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)感的培養(yǎng)，而數(shù)感的培養(yǎng)離不開工具的使用 。那么，

到底什么是數(shù)感？

手指頭到底能不能用？

手指頭怎么用才好？

1.什么是數(shù)感

在小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中，不論中國還是美國，數(shù)與計(jì)算都是教學(xué)內(nèi)容中的主要部分。而這部分都是建立在良好的數(shù)感基礎(chǔ)上的。所以，什么是數(shù)感呢？

數(shù)感這個詞，是從英文詞組number sense直接翻譯過來的。它的意思很寬泛，指的是孩子可以靈活機(jī)動的使用數(shù)字。根據(jù)美國數(shù)學(xué)教師委員會（NCTM，National Council of Teachers of Mathematics）的定義，數(shù)感應(yīng)該大致包括以下幾個方面：

-了解數(shù)字，以及不同的數(shù)字的表示方式

-了解數(shù)字之間的關(guān)系，以及我們的數(shù)字體系（比如十進(jìn)制或二進(jìn)制）

-了解不同的運(yùn)算，知道不同運(yùn)算之間的關(guān)系

-可以在現(xiàn)實(shí)生活中使用數(shù)字

數(shù)感是如何培養(yǎng)起來的呢？認(rèn)知心理學(xué)普遍認(rèn)為，當(dāng)孩子還很小的時候，就能通過日常生活經(jīng)驗(yàn)積累起對一些數(shù)學(xué)性概念的直觀感受，比如大小，多少，前后，高矮，遠(yuǎn)近。

全家喝湯需要幾把勺子？今天有客人，需要增加幾把？從家到學(xué)校需要多長時間？ 買一個玩具大概需要多少錢？ 這兩把香蕉哪個更多，多多少？

這些對話讓數(shù)學(xué)成為孩子的日常生活中不可缺少的一部分。進(jìn)入學(xué)校后，在這些數(shù)學(xué)對話的基礎(chǔ)上，孩子要開始學(xué)習(xí)一系列正規(guī)的數(shù)學(xué)表達(dá)方法，十進(jìn)位，加減乘除運(yùn)算（豎式），數(shù)量的拆分和整合，加法結(jié)合律、加法交換律、乘法分配率，小數(shù)，分?jǐn)?shù)，百分比，比例等等。

數(shù)感還包括，孩子知道6+17，17+6，16+7都是一樣的，并且能用自己的語言說出為什么一樣；4個15比50要大，為什么；一個電梯里大概能塞下多少人，這么多人排隊(duì)我們需要等幾趟電梯，等等。

但是需要注意的是，很多家長或多或少有一個錯覺，那就是，正規(guī)運(yùn)算是更高級的數(shù)學(xué)，一旦孩子開始學(xué)習(xí)，日常生活中的數(shù)學(xué)對話就落后了，低級了，也沒有必要了。取而代之的，是習(xí)題，是熟練度，是反復(fù)練習(xí)?？傊?，孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就應(yīng)該交付給學(xué)校的模式。

按照這個思路，掰手指頭顯然不夠高級也不夠正規(guī)?？偪筷种割^做算數(shù)怎么能熟練掌握數(shù)學(xué)原理呢？家長會有這個擔(dān)憂。

2. 手指頭到底能不能用？

答案非常簡單粗暴: 能！不僅能用，還應(yīng)該鼓勵用。為什么？

先看看人類計(jì)數(shù)的歷史。

首先，一起來做個情境代入。假如你生活在公元前9000年的美索不達(dá)米亞（Mesopotamia），是個牧羊人。你需要每天把羊群放出去吃草，晚上弄清楚是不是每只羊都回來了？可是，糟糕的是，這個時候還是新石器時代，數(shù)字還沒有發(fā)明，更沒有什么計(jì)數(shù)的體系。換句話說，你還不會數(shù)數(shù)這回事呢。這個時候你應(yīng)該怎么辦？

你可能會想到幾個解決方法：

方法 1:你從四面八方找來很多石頭塊，打開羊圈放羊群放出去吃草的時候，每當(dāng)一只羊從你身邊經(jīng)過，你就堆一塊石頭到羊圈門口，直到堆成一個石頭堆，剩下的石頭塊都丟的遠(yuǎn)遠(yuǎn)的不再用。晚上羊回來的時候，把石頭堆里的石頭一塊一塊搬開，如果最后一塊都不剩，你就知道一只沒少全回來了。就用石頭數(shù)羊法，日復(fù)一日，循環(huán)往復(fù)。

方法 2:找來一個樹樁子，早上羊群經(jīng)過你身邊的時候，看到一只羊就在樁子上畫個細(xì)道；晚上羊回圈的時候，回來一只就在細(xì)道旁邊畫個圈；第二天早上，每個圈旁邊再劃個道，就用樹樁子劃線圈法數(shù)羊，日復(fù)一日，循環(huán)往復(fù)。（當(dāng)然，寫不下的時候要換樹樁子）。

這兩種方法都有一個共同點(diǎn)，都是用一一對應(yīng)的方法來記錄羊群的數(shù)量。一塊石頭，一個細(xì)道道，或是一個圓圈對應(yīng)一只羊。仔細(xì)想想，你會發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)跟孩子用手指頭數(shù)數(shù)是一個道理——每一個手指頭對應(yīng)數(shù)字“1”所代表的數(shù)量。

當(dāng)孩子對抽象的阿拉伯?dāng)?shù)字還不夠熟悉的時候，他們需要一切方便易得的工具來協(xié)助記錄數(shù)量和數(shù)量的變化。就像這個人類早期文明時期的羊倌一樣。對孩子而言，還有什么比手指頭更簡單更順手的工具呢？

從人類計(jì)數(shù)發(fā)展的歷史來看，用手指計(jì)數(shù)是再正常不過的，甚至很多專門研究計(jì)數(shù)發(fā)展史的學(xué)者認(rèn)為，人類最早的計(jì)數(shù)方法就是利用手指頭計(jì)數(shù)。

在這之后，才逐漸出現(xiàn)巖石刻道，然后這些道道被分成幾個一組。再然后才出現(xiàn)進(jìn)位機(jī)制，再以后的十進(jìn)制，直到阿拉伯?dāng)?shù)字從印度傳到西方，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號基礎(chǔ)才逐步穩(wěn)定。

注意觀察的話，你會發(fā)現(xiàn)這種分組方式是以8為單位。

每一個阿拉伯?dāng)?shù)字都是一個抽象的數(shù)學(xué)符號，孩子要經(jīng)過相當(dāng)長一段時間才能逐步把這個符號和它背后代表的數(shù)量結(jié)合起來。而在此之前，用手指頭幫忙計(jì)數(shù)是個自然而然，簡便易行的方法。

再聽聽腦神經(jīng)學(xué)家是怎么說的。

2015年的一個神經(jīng)學(xué)研究中，學(xué)者Llaria Berteletti 和James R. Booth對人的大腦進(jìn)行了分析。他們發(fā)現(xiàn)，大腦中的某一個特定部分是可以“看到”我們的手指的。8-13歲的學(xué)生做減法題目的時候，他們大腦的這個部分就會點(diǎn)亮，即使沒有掰手指頭。

其他的學(xué)者還發(fā)現(xiàn)，一年級的孩子如果手指用得很熟練的話，二年級時候的數(shù)量比較和估算能力也會更強(qiáng)。當(dāng)研究者們訓(xùn)練6歲的孩子有一些“手指頭意識” 的時候，孩子不僅僅提高了算數(shù)能力，而且未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的可能性也更大。

當(dāng)然，這些研究并不是說掰掰手指頭，孩子就能開啟神秘的大腦能量。而是說，在適當(dāng)?shù)碾A段，當(dāng)孩子需要的時候，給孩子一個天然的、人類使用已久的計(jì)數(shù)工具，從長遠(yuǎn)看來，這么做對孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有幫助的。

最后參考一下數(shù)學(xué)教育專家的意見。

斯坦福大學(xué)的Jo Boaler教授常年致力于改善美國小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和效果。她在研究中發(fā)現(xiàn)，手指輔助運(yùn)算能夠幫助孩子更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。她認(rèn)為，使用手指在教會孩子基礎(chǔ)概念的時候至關(guān)重要，而且也和孩子今后的數(shù)學(xué)IQ有相關(guān)性。而強(qiáng)行禁止孩子使用手指輔助運(yùn)算，很可能對他們的數(shù)學(xué)能力發(fā)展造成傷害。

對于剛剛開始接觸正規(guī)數(shù)字的孩子來說，手指頭是一個橋梁，一個過渡?！笆种割^是我們最有用的視覺輔助系統(tǒng)，對于提高數(shù)學(xué)理解能力，大腦發(fā)展都至關(guān)重要。這個作用還會一直延續(xù)到成年之后?！?/p>

“當(dāng)學(xué)生不擅長死記硬背，或者數(shù)字使用不太熟練的時候，往往會找到視覺的或者其他的輔助工具。而這一點(diǎn)，讓我們很多最偉大的科學(xué)家比如愛因斯坦和愛迪生，在小時候被老師認(rèn)為是愚蠢的?！?/p>

總結(jié)一下：到底能不能掰手指頭。

孩子做算數(shù)的時候能不能掰手指頭？

能。

孩子是不是一定要掰手指才能學(xué)好數(shù)學(xué)？

不是。但腦神經(jīng)研究結(jié)果表明，手指的訓(xùn)練和使用有助于大腦的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

會不會造成依賴？

不會。這只是個過渡。隨著理解的深入，自然就會放棄不用。你會走了之后還用爬么?

我小時候沒用也學(xué)會了啊。

1. 你小時候沒用不代表你孩子就不能用。你小時候還不用互聯(lián)網(wǎng)呢。

2. 你小時候初學(xué)數(shù)學(xué)的痛苦你可能已經(jīng)不記得了。

能不能讓孩子戒掉？

你可以試試。這么做的后果有以下一個或幾個。

1. 孩子在你不在的時候偷偷用，或者干脆改用計(jì)算器。（順便說一句，我個人不主張小學(xué)生使用計(jì)算器，除非是特別設(shè)計(jì)的課堂活動。關(guān)于為什么小學(xué)生最好不用計(jì)算器，下一期問答專欄我會回答）

2. 孩子的運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度會下降。

3. 孩子會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒，如果不及時調(diào)整，會影響學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4.  家長提供其他替代工具，孩子慢慢放棄使用手指。

5.  當(dāng)然，還有一種可能，你的孩子輕松戒掉掰手指（或者根本不需要），因?yàn)樗?她在數(shù)學(xué)方面有天分。

3. 手指頭和其他工具應(yīng)該怎么用？

現(xiàn)在你應(yīng)該不糾結(jié)能不能讓孩子掰手指了。下面的問題是，手指頭或者其它工具，應(yīng)該怎么用呢。

這里又涉及到數(shù)感的概念。數(shù)感不是簡單的數(shù)（三聲）數(shù)（四聲），而是知道數(shù)“量”的變化是怎么來的，是去了解一種數(shù)量變化的因果關(guān)系。單純靠死記硬背背熟9X9乘法表，或是熟記圓周率小數(shù)點(diǎn)之后100位，跟數(shù)感都沒有關(guān)系。

在培養(yǎng)數(shù)感的過程中，有兩個能力是非常重要的，那就是觀察數(shù)量的規(guī)律(patterns)和對數(shù)量進(jìn)行分組(grouping or partitioning)。

比如下面這張圖，四個網(wǎng)球拍，爸爸媽媽可以問小朋友，這圖片里面有幾根球拍？

他們會說4個，這時你就可以問他們，你們是怎么知道這是四個球拍的??？

他們這時可能會說，2個+2個=4個

也有可能會說，這是1個+1個+1個再+1個。

那么兩個方法比較起來，就會發(fā)現(xiàn)很顯然2+2，比1+1+1+1更先進(jìn)。為什么更先進(jìn)了呢？因?yàn)檫@個方法更高效。能夠一眼看到圖中有兩個2，把視覺畫面和數(shù)量多少建立直接的聯(lián)系，簡單說來，這就是觀察數(shù)量的規(guī)律（patterns）。

再比如下面這張圖，小朋友會從圖中看到了哪些數(shù)量之間的關(guān)系呢？一眼看上去，最直觀的可能是5+3=8；如果再花點(diǎn)時間，給與點(diǎn)引導(dǎo)，小朋友可能看到8+2=10，甚至10-2=8。

接觸更多的數(shù)量變化之后，孩子還會知道5+5=10，7+3=10；甚至可以推導(dǎo)出一系列其他的方法來得到10這個數(shù)字。能靈活的把10分成8和2，或者分成7和3，甚至5+3+2，這就是我們說的對數(shù)量進(jìn)行分組（partitioning）。

最初的數(shù)感的建立，都需要經(jīng)過從具體到抽象的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開構(gòu)建一個數(shù)學(xué)形象。與其讓孩子用抽象的算式來表達(dá)？＋？＝8，不如給8個香蕉（或者8個任何東西），問問他/她，應(yīng)該怎么在兩個小朋友之間分這8樣?xùn)|西，有多少種分法，哪種分法你最喜歡，為什么。

多問開放性的問題，同時給孩子機(jī)會，讓他/她說出自己推理思考的過程，這比每天壓著孩子做10道四則運(yùn)算題更能激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

所以，手指頭能幫助孩子看到什么樣的數(shù)量規(guī)律patterns，又能幫助做哪些數(shù)量劃分partitioning呢?

提問：你有沒有想過，我們的十進(jìn)制是怎么來的？

提示:掰掰手指頭你就知道了。

是的，我們的手上，寫滿了人類數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史?，斞湃说?0進(jìn)制，其他古代文明的12進(jìn)制，到我們現(xiàn)在用的十進(jìn)制。利用10個手指頭，除了可以清晰的表達(dá)出1-10的不同數(shù)量之外，我們可以幫助孩子迅速的認(rèn)出每個數(shù)量所對應(yīng)的手指規(guī)律。比如，5就是一只手的全部手指，6就是一只手加一根額外的手指。

利用兩只手，我們可以演示10=？＋？的各種方法。每一種方法，都是對10這個數(shù)量的一次重新劃分，而我們可以把這個劃分過程用手指頭演示出來。

更高級一點(diǎn)，有沒有想過超過10的數(shù)字怎么辦？18應(yīng)該怎么表示呢？最簡單的方法，我們可以把腳趾頭一起算上，就像我們文章一開頭，那個從容脫掉襪子的小男生一樣。

跟他不同的是，我們可以跟孩子約定，每當(dāng)我們湊夠10根手指頭的時候，我們就用1根腳趾頭來標(biāo)記。手腳并用，我們可以有各種數(shù)字游戲出來：比大小，猜數(shù)字，湊100。在這樣的游戲過程中，你在傳達(dá)一個更為重要的數(shù)學(xué)概念，10進(jìn)制。

當(dāng)孩子通過掰手指頭對于數(shù)量有了進(jìn)一步的深入的了解，把在具體的數(shù)量（幾根手指頭）和對應(yīng)的阿拉伯?dāng)?shù)字之間建立起更堅(jiān)固的關(guān)聯(lián)之后，他們自然而然就會降低對手指頭的依賴，學(xué)會了更快更高效的方法，誰還會抓住笨辦法不放呢？

在這個過程中，家長當(dāng)然也可以給孩子提供其他的替代性的工具，輔助孩子的計(jì)算。比如家里的生活用品，牙簽，米粒，火柴，或者是一些簡易好用的數(shù)學(xué)工具，比如可以拆卸的塑膠粒。

塑膠粒的好處是，我們可以隨時組裝出5，8，10，和他們的不同構(gòu)成形狀，讓孩子們對于數(shù)量的樣子和規(guī)律有進(jìn)一步的理解。

4. 寫在最后

今天說了好多次手指頭，連腳趾頭也出現(xiàn)了幾次，說這些，不僅是因?yàn)檫@是個常見問題，更重要的是這背后的觀念對孩子造成的影響。

從人類早期文明的牧羊人，到高科技時代的孩子們，使用形象、便捷的工具去理解和運(yùn)用數(shù)字，是一以貫之的，也是很自然的。我們需要看到，從日常生活中的數(shù)學(xué)對話到學(xué)校學(xué)到的正式數(shù)學(xué)符號中間，還隔著很長一段的學(xué)習(xí)距離。在這個過程中，深度比速度更重要。多問問孩子why和how的問題，比知道答案是幾更重要。

上了初中后，正常情況下，所有的孩子都能熟練掌握四則運(yùn)算?；乜葱W(xué)階段家長和孩子為了數(shù)學(xué)的著急上火, 那些都成了云煙。但是，雖然知識都能掌握，但是孩子是如何掌握四則運(yùn)算的，四則運(yùn)算對于他們意味著什么，往往決定了他們今后對待數(shù)學(xué)的態(tài)度。

對于父母而言，幫助孩子學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，是破除自己的數(shù)學(xué)迷思，給孩子提供他們所需要的輔助和過渡，從樂見孩子掰手指甚至脫掉鞋子掰腳趾開始。

來源：成長合作社，文 ：趙晴，美國范德比爾特大學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)博士