親子學(xué)奧數(shù)--認識三角形

分享寫給自家倆娃的奧數(shù)備課教材，希望能有更多家長一起嘗試親子奧數(shù)。

更多內(nèi)容和習(xí)題講解，請關(guān)注微信公眾號：有心小灶。

我會把一些介紹性的內(nèi)容搬運過來，不過有些習(xí)題，這邊的格式如何設(shè)置便于閱讀，我還沒空研究，建議去微信公眾號觀看，謝謝。

前面我們給孩子講了點、線、角、長度、角度的概念、今天開始我們就可以像玩積木一樣，用這些已經(jīng)學(xué)過的概念，探索形狀的世界。讓我們由少至多，由方至圓，從三角形開始我們的旅途。

1

什么是三角形？

先來帶孩子們親手畫出一個三角形：在白紙上畫出兩條相交于一點的線段，將兩條線段的另一端用直尺連起來，是不是就構(gòu)成一個封閉圖形，這就是一個三角形。

三角形是由三條線段圍起來的封閉圖形。

三角形上包含哪些幾何元素呢？有三個頂點、三個角和三條邊。

圖片來源：《生動的幾何--三角形》
 

知道了什么是三角形，請孩子想一想、看一看，生活中有哪些地方藏著三角形？（注意由于現(xiàn)實中很少有理想的點，所以很多三角形是接近三角形而不是跟數(shù)學(xué)課本上長得一模一樣哦?。?/span>

圖片來源：《走進奇妙的幾何世界--奇妙的三角》

2

三角形有什么特點？

三角形，顧名思義，三個角是它的重點，這里面有什么特點呢？請孩子在紙上畫一個三角形，并剪下來，然后剪掉三個角，將三個角的頂點放在同一處，邊相互緊挨著，3個角是不是組成了一條直線？

圖片來源：《看漫畫學(xué)幾何》
 

請孩子多做幾個不同三角形，反復(fù)驗證下？他們是否可以自己總結(jié)出這樣一個性質(zhì)，3個角的角度之和是180度（直線相當(dāng)于一個平角，180度）。讓他們想想看，這個特點還可以如何證明，答案可以參考下圖：

圖片來源：《數(shù)學(xué)在哪里 小學(xué)四年級下冊》
 

你看，有了這些動手實踐，三角形內(nèi)角和是180度孩子還會忘記嗎？
 

3

三角形有哪些類型？

就像人類雖然從身體結(jié)構(gòu)上都是一樣的，但還是會分成白種人、黃種人、黑人。三角形雖然有著統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，也是需要進一步分類和區(qū)分的。分類講究的是角度統(tǒng)一、不遺漏、不重復(fù)。例如吃的東西，可以分成好吃和不好吃，不能分為好吃和圓的對嗎？

三角形包含了角和邊這兩種重要元素，我們可以分別從角和邊兩個層面進行分類。從角的層面來看，角可以按照大小分為銳角、直角和鈍角，那三角形的三個角可以如何組合呢？

讓孩子們試著畫出各種三角形，自己總結(jié)一下?？梢詥枂査麄?，你們能畫出有2個直角/2個鈍角/1個直角+1個鈍角的三角形嗎？顯然不能，這是受到了前面講的三角形內(nèi)角和是180度的限制。因此三角形的三個角，要不就都是銳角，要不其中一個是直角，要不其中一個是鈍角，所以合理的分類就是分為：

銳角三角形：三個角均小于90度的三角形。

直角三角形：有一個角等于90度的三角形。

鈍角三角形：有一個角大于90度的三角形。

圖片來源：《25堂幾何實驗課》

這是從角的層面來分類，那這樣分類之后，這三類三角形的邊有什么特殊性質(zhì)嗎？讓孩子們想一想，大概率他們會說沒有什么限制。

這時候不妨賣個關(guān)子，告訴他們在直角三角形中隱藏著勾股定理，也就是畢達哥拉斯定理哦，具體的講解我們會放在后面的其他章節(jié)。

如果從邊的角度來分類，又要怎么分呢？

其實就是按照每個邊都不相等，有兩個邊一樣長，和三個邊全都一樣長來分類。

等腰三角形：至少兩條邊相等，且它們所對應(yīng)的兩個角也相等的三角形。

等邊三角形：三條邊相等，且三個角也相等的三角形
 

圖片來源：《25堂幾何實驗課》

這里有一個邏輯陷阱，需要特別給孩子們指出，請問下他們：

等腰三角形和等邊三角形是勢不兩立，有我沒你的對立關(guān)系嗎？還是你中有我的包含關(guān)系？

答案是他們是包含的關(guān)系，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形。

所以從邊的層面來看，嚴格地說，三角形分為等腰三角形和非等腰三角形（不等邊三角形），其中等腰三角形里包含一種特殊的等邊三角形。

那么等腰三角形和等邊三角形中的角又有什么特性呢？定義里其實也已經(jīng)告訴我們了，就是分別有2個角或者3個角相等。

試試看孩子們能否在下圖中找出上述各種三角形：

圖片來源：《圖解數(shù)學(xué)》

在介紹了兩種分類方法后，考驗孩子們理解是否到位的時候到了：

等邊三角形可能是直角三角形嗎？可能是鈍角三角形嗎？

等腰三角形可能是直角三角形嗎？可能是鈍角三角形嗎？

鈍角三角形可能是等腰三角形嗎？可能是等邊三角形嗎？

如果沒暈才是真的懂了。

最后，還要強調(diào)兩種三角形，請孩子們思考一下，等邊三角形的每個角是多少度？等腰直角三角形的每個角是多少度？

由于三角形內(nèi)角和是180度，因此等邊三角形的每個內(nèi)角都是180度除以3等于60度。由于等腰直角三角形已經(jīng)有一個直角了，另外兩個角就是平分90度，也就是45度。

熟知這兩種三角形的特點，對于后續(xù)幾何解題會很有幫助。

4*

三角形的有趣之處？

前面咱們學(xué)習(xí)的是三角形一些非常顯而易見的特點。其實這個圖形中還隱藏著很多有趣的幾何特征。如果孩子有興趣，不妨帶他們一起了解一下：

與角平分線有關(guān)的性質(zhì)1：

請孩子們在紙上畫下一些不同的角，把紙剪開，使得每個紙上都有一個角，將每個角對折（使得兩邊重合），對折后的折線將這個角分成了相等的兩半，這個線就叫做角平分線。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》

請孩子們畫出一個三角形，將三個角分別對折一次，得到三個角的角平分線。只要折紙的時候小心一點，他們就會神奇的發(fā)現(xiàn)，三條線相交在一個共同的點上。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》

更神奇的是，如果你拿出一個圓規(guī)，以該點為圓心，你能夠畫出一個正好套進三角形中的圓，也就是這個圓能與三角形的每條邊都剛好碰一下。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》

與中垂線有關(guān)的性質(zhì)2：

中垂線就是過一條線段中點的垂線。中點就是線段正中間的點，可以把線段分為相等的兩個部分。三角形的每個邊都是線段。在紙上畫一個三角形（不要剪下來），將一條邊的兩個頂點對在一起，就可以折出這條邊的中垂線。折出三條邊的中垂線后，你又能神奇地發(fā)現(xiàn)，三條中垂線也相交于相同的一點。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》

如果你用該點為圓心，又可以畫出一個圓，正好套住這個三角形，也就是三角形的每個頂點都在這個圓上。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
 

與中線有關(guān)的性質(zhì)3：

還有一種線叫三角形的中線，就是從一個頂點到對邊中點的直線。我們同樣可以折出三角形的三條中線，仍舊會發(fā)現(xiàn)三條線交于同一個點，這個點就是三角形的重心，也就是三角形重量的中心。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
 

你可以找一個厚紙板，畫上一個三角形及三條中線，剪下這個三角形，試試看能否用鉛筆在重心這個點上頂住它并保持平衡。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
 

最后，這三個性質(zhì)在等邊三角形上會有更神奇的組合：三心合一。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
 

今天因為是剛開始接觸幾何，暫時只是提出這些特征，不作復(fù)雜的證明。還記得幾何發(fā)展史中，咱們說過幾何的學(xué)科飛躍源自從經(jīng)驗到證明的改變嗎？希望你可以告訴孩子，請他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，一定會有機會親自證明這些有趣的性質(zhì)！

參考資料：

《走進形狀的世界》 [英]羅博.考爾森 著  湖南少年兒童出版社

《圖解數(shù)學(xué)》[英] 英國DK公司 編著 清華大學(xué)出版社

《數(shù)學(xué)在哪里 小學(xué)四年級下冊》 唐彩斌 主編 電子工業(yè)出版社

《奇妙的三角形》 [美]喬.菲利普斯 著 貴州人民出版社

《走進奇妙的幾何世界--奇妙的三角》 [英]格里.貝利 著 浙江教育出版社

《25堂幾何實驗課》 [美]詹尼斯.范克里夫 著 上?？茖W(xué)技術(shù)文獻出版社

《看漫畫學(xué)幾何》 [日] 岡部恒治 著 中國輕工業(yè)出版社