學(xué)數(shù)學(xué)到底學(xué)的是什么？從兩個為什么聊聊數(shù)學(xué)思維

之前有一位花友在談學(xué)數(shù)學(xué)的時候說過，計算能力和數(shù)學(xué)能力是兩碼事，而且說小學(xué)奧數(shù)都是瞎胡鬧，我表示非常贊同，我在學(xué)編程的文章里面也提到了類似的觀點。那么學(xué)數(shù)學(xué)到底學(xué)的是啥？我舉兩個例子聊聊這個話題。

第一個例子，娃在做數(shù)學(xué)題的時候，有一道題讓他判斷哪個數(shù)字能被3整除。他媽媽正好路過，順便告訴他一個簡單的方法，把這個數(shù)字中各個位的數(shù)都加起來，如果能被3整除，那么這個數(shù)字本身就能被3整除，比如說45，4+5=9，9能被3整除，所以45也能被3整除。

娃問，為什么可以這樣做呢？

這其實是一個非常好的問題，因為要回答這個“為什么”，就是要給出上面這個方法的數(shù)學(xué)證明，而數(shù)學(xué)證明就是數(shù)學(xué)思維的一個典型代表。這個方法我估計很多人小時候都學(xué)過，但是我不知道有多少人想過為什么，又有多少人嘗試想一想應(yīng)該怎么證明它。其實證明的過程很簡單，大概只用到初中的數(shù)學(xué)知識就可以完成了。

首先，對于一個十進(jìn)制正整數(shù)N，我們可以將它寫成這樣的形式：

其中，n0、n1、n2……分別代表個位、十位、百位……上的數(shù)字。我們知道，10的k次冪（1、10、100……）除以3的余數(shù)都是1，因此10的k次冪可以寫成：

代入，變換：

顯然，前面一項有系數(shù)3，是可以被3整除的，后面一項如果也可以被3整除，則N就可以被3整除，而后面一項是n0+n1+n2……也就是N的所有位數(shù)相加，因此，只要一個數(shù)的所有位數(shù)相加后的結(jié)果能被3整除，這個數(shù)本身就能被3整除。

第二個例子，有一次娃問我，有沒有十二面體？我說有啊，不但有十二面體，還有正十二面體。娃問，那么有正十面體嗎？我說沒有，正多面體只有5種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。

娃問，為什么只有五種呢？

又是一個好問題，怎么給出證明呢？其實也只需要初中幾何知識就可以了。

首先：

1. 多面體是三維圖形，因此其中每個頂點至少在3個面上，即過每個頂點的棱至少可形成3個夾角。
2. 正多面體要求每個面都是全等圖形，因此過每個頂點的棱所形成的所有夾角都相等，即每個面必須是正多邊形。
3. 過每個頂點的棱所形成的所有夾角之和必須小于360度，否則它們就必須位于同一個平面上（即無法形成三維圖形）。

由上述條件可知，過每個頂點的棱所形成的每個夾角必須小于120度。已知正多面體中每個面都是正多邊形，設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式：

由于不存在n為1和2的多邊形，因此n只能為3、4、5，即正三角形、正方形和正五邊形， 根據(jù)上述條件3（ 過每個頂點的棱所形成的所有夾角之和必須小于360度），該正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)乘以過每個頂點的棱所形成的夾角數(shù)（即每個頂點所在的面數(shù)）必須小于360度，對于每種正多邊形： 

• 正三角形的每個內(nèi)角為60度，因此每個頂點所在的面數(shù)只能是3、4、5，滿足此條件的三種正多面體為：正四面體、正八面體、正二十面體。
• 正方形的每個內(nèi)角為90度，因此每個頂點所在的面數(shù)只能是3，滿足此條件的多面體為：正六面體（正方體）。
• 正五邊形的每個內(nèi)角為108度，因此每個頂點所在的面數(shù)只能是3，滿足此條件的多面體為：正十二面體。

由于不存在其他排列組合的可能性，因此正多面體只可能有上述五種，不存在其他正多面體。

當(dāng)然，對于一個還沒上小學(xué)的娃，他掌握的數(shù)學(xué)知識顯然還不足以完成這些證明，甚至也無法理解這樣的證明，但我們不妨告訴孩子，你的問題非常好，我們學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是回答這些為什么，而且不但是回答數(shù)學(xué)本身的為什么，還可以回答幾乎所有自然科學(xué)里面的為什么。引用伽利略的一句名言：“自然之書是用數(shù)學(xué)的語言寫成，只有掌握這門語言的人才能洞悉自然之規(guī)律?！?/p>

小學(xué)奧數(shù)（甚至正常教學(xué)中）會出現(xiàn)很多詭異的速算巧算，這些東西本身沒什么太大的價值，但如果能引導(dǎo)孩子去思考“為什么可以這樣算”，“為什么這樣算就能算對”，這個過程對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維就是非常非常有益的。有些東西的證明比上面這兩個問題簡單多了，但關(guān)鍵就是孩子有沒有去探求這個為什么，有沒有人引導(dǎo)他如何思考。更重要的是，家長本身有沒有思考這些問題的習(xí)慣。