數(shù)學(xué)思維到底該咋建立？學(xué)而思的奧數(shù)班究竟有沒(méi)有用？

熟悉我的粉絲知道，我是數(shù)學(xué)系出身，本科學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)，研究生是概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)的，目前在雙鴨山大學(xué)（哈哈，中山大學(xué)）的統(tǒng)計(jì)系擔(dān)任專業(yè)碩士導(dǎo)師，每年參與研究生答辯。

所以自從開(kāi)始討論教育，就有很多粉絲在后臺(tái)問(wèn)我，如何激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣？學(xué)而思的奧數(shù)班到底有沒(méi)有用？

日常生活中我也碰到過(guò)很多家長(zhǎng)，自己對(duì)數(shù)學(xué)毫無(wú)興趣，卻格外關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

有的出于應(yīng)試考慮，希望“學(xué)而思”等課外機(jī)構(gòu)學(xué)奧數(shù)，在升學(xué)考試中取得好成績(jī)，進(jìn)而獲得一個(gè)好學(xué)位；

有的可能看得更遠(yuǎn)，希望培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維，人工智能已經(jīng)步步逼近，可能未來(lái)就是一個(gè)算法的世界，是數(shù)學(xué)家統(tǒng)治的世界，感覺(jué)不學(xué)好數(shù)學(xué)，未來(lái)的精英之門都要向TA關(guān)閉了。（其實(shí)也沒(méi)這么夸張，還有藝術(shù)之門呢）

看來(lái)，談教育就很難繞得過(guò)學(xué)而思，也很難繞得過(guò)數(shù)學(xué)這個(gè)“難題”、“話題”。

到底什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維在我們的人生中到底有多重要？如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維？今天我們就談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。

什么是數(shù)學(xué)思維？

先跟大家說(shuō)件最近聽(tīng)說(shuō)的事兒，大家也練練腦：

朋友的公司最近正在招人，由于公司效益好，簡(jiǎn)歷特別多。

一開(kāi)始他們只是設(shè)定了專業(yè)的要求，沒(méi)有設(shè)置學(xué)歷的要求。朋友就跟HR說(shuō)，我們要提高招聘標(biāo)準(zhǔn)，不然面試的人數(shù)太多。

隨后HR就給出了一個(gè)新的招人條件——

原先只看專業(yè)，現(xiàn)在的條件變成“先看專業(yè)，如果專業(yè)不合格就看學(xué)歷”，只要學(xué)歷高，也可以進(jìn)面試。

這就是這位HR理解的所謂“提高”了面試條件。

我這個(gè)朋友是學(xué)理科出身，當(dāng)時(shí)就樂(lè)了。

我聽(tīng)了之后，也是笑壞了。

這個(gè)HR說(shuō)，先看專業(yè)，專業(yè)不行的再看學(xué)歷，這哪里是提高招聘標(biāo)準(zhǔn)的意思？這明明是降低標(biāo)準(zhǔn)嘛。

用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)解釋——

原先只看了專業(yè)，如果要提高標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該是取專業(yè)合格且學(xué)歷也合格的交集；

若是先看專業(yè)再看學(xué)歷，這就變成了專業(yè)和學(xué)歷的并集，只要專業(yè)和學(xué)歷有一個(gè)達(dá)標(biāo)就可以進(jìn)入下一級(jí)了。

相信很多朋友看了這一段還是云里霧里的，其實(shí)這個(gè)故事就是一個(gè)典型的缺乏數(shù)學(xué)思維的HR鬧出來(lái)的笑話。

交集和并集，這是高中學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，相信大部分人都學(xué)過(guò)，卻早已經(jīng)還給老師了。

把具體問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)思考里，我還可以講一個(gè)著名數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald）與失蹤彈孔的故事。

1902年，亞伯拉罕·瓦爾德出生于當(dāng)時(shí)的克勞森堡，隸屬奧匈帝國(guó)（后隸屬羅馬尼亞）。瓦爾德是一位天生的數(shù)學(xué)家，憑借出眾的數(shù)學(xué)天賦，他被維也納大學(xué)錄取。后來(lái)去了紐約。

二戰(zhàn)期間，瓦爾德都在哥倫比亞大學(xué)的統(tǒng)計(jì)研究小組（SRG）中工作。統(tǒng)計(jì)研究小組是一個(gè)秘密計(jì)劃的產(chǎn)物，它的任務(wù)是組織美國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家為“二戰(zhàn)”服務(wù)。

當(dāng)時(shí)軍方需要解決飛機(jī)被擊落的概率問(wèn)題，只要降低飛機(jī)被擊落的概率，就可以?shī)Z得空戰(zhàn)的優(yōu)勢(shì)。

數(shù)據(jù)分析后，有人發(fā)現(xiàn)返航的飛機(jī)中，大部分的彈孔出現(xiàn)在機(jī)翼和機(jī)身，而發(fā)動(dòng)機(jī)幾乎沒(méi)有彈孔，所以軍方就認(rèn)為應(yīng)該對(duì)機(jī)翼和機(jī)身披上裝甲。

瓦爾德卻給出了一個(gè)完全不同的答案。

他說(shuō)，需要加裝裝甲的地方不應(yīng)該是留有彈孔的部位，而應(yīng)該是沒(méi)有彈孔的地方，也就是飛機(jī)的引擎。

瓦爾德的獨(dú)到見(jiàn)解可以概括為一個(gè)問(wèn)題：

飛機(jī)各部位受到損壞的概率應(yīng)該是均等的，但是引擎罩上的彈孔卻比其余部位少，那些失蹤的彈孔在哪兒呢？瓦爾德深信，這些彈孔應(yīng)該都在那些未能返航的飛機(jī)上。勝利返航的飛機(jī)引擎上的彈孔比較少，其原因是引擎被擊中的飛機(jī)未能返航。大量飛機(jī)在機(jī)身被打得千瘡百孔的情況下仍能返回基地，這個(gè)事實(shí)充分說(shuō)明機(jī)身可以經(jīng)受住打擊（因此無(wú)須加裝裝甲）。

如果去醫(yī)院的病房看看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)腿部受創(chuàng)的病人比胸部中彈的病人多，其原因不在于胸部中彈的人少，而是胸部中彈后難以存活。

當(dāng)然，瓦爾德是對(duì)的。

為什么瓦爾德能看到軍官們無(wú)法看到的問(wèn)題？根本原因是瓦爾德在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中養(yǎng)成的思維習(xí)慣。從事數(shù)學(xué)研究的人經(jīng)常會(huì)詢問(wèn)：“你的假設(shè)是什么？這些假設(shè)合理嗎？”

在這個(gè)例子中，軍官們?cè)诓唤?jīng)意間做出了一個(gè)假設(shè)：返航飛機(jī)是所有飛機(jī)的隨機(jī)樣本。如果這個(gè)假設(shè)真的成立，我們僅依據(jù)幸存飛機(jī)上的彈孔分布情況就可以得出結(jié)論。但是，一旦認(rèn)識(shí)到自己做出了這樣的假設(shè)，我們立刻就會(huì)知道這個(gè)假設(shè)根本不成立，因?yàn)槲覀儧](méi)有理由認(rèn)為，無(wú)論飛機(jī)的哪個(gè)部位被擊中，幸存的可能性是一樣的。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，飛機(jī)幸存的概率與彈孔的位置具有相關(guān)性。

——素材選自《魔鬼數(shù)學(xué)：大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)學(xué)思維的力量》

數(shù)學(xué)帶來(lái)安全感？

個(gè)體心理學(xué)的大家阿德勒曾經(jīng)這樣談?wù)摗皵?shù)學(xué)”：

我們將一個(gè)孩子是否運(yùn)用數(shù)學(xué)視為一個(gè)孩子是否心理健康的重要指標(biāo)。因?yàn)閿?shù)學(xué)是少數(shù)幾個(gè)給人安全感的學(xué)科之一。

數(shù)學(xué)上的思想操作，可以讓我們周圍混亂的世界，通過(guò)數(shù)學(xué)間的運(yùn)算而穩(wěn)定下來(lái)。但具有強(qiáng)烈不安全感的人，通常在數(shù)學(xué)方面都有欠缺。

——《兒童的人格教育》

聽(tīng)起來(lái)，在心理學(xué)大師眼里，數(shù)學(xué)也是極為重要的。當(dāng)然，除了數(shù)學(xué)，他也提到了寫作、繪畫、體操和舞蹈等。

我的理解是，為什么數(shù)學(xué)能帶來(lái)安全感？因?yàn)槭澜缡菬o(wú)常的，而數(shù)學(xué)能夠通過(guò)形式邏輯把事情變得確定。

當(dāng)然，就算數(shù)學(xué)這種方法是可信的、科學(xué)的，可是由于掌握的數(shù)據(jù)不足，我們依然不能完全把握自己的命運(yùn)。每個(gè)人都是在這種安全與不安全之中游離。

如果只看到那些我們把握不了的東西，毫無(wú)疑問(wèn)，心理就會(huì)不健康，沒(méi)有安全感。所以，我們需要去思考那些能把握的東西，而能把握的東西，其實(shí)本質(zhì)上就是我們的思維方式、邏輯推理的方式。

數(shù)學(xué)教育渠道有哪些？

數(shù)學(xué)對(duì)于未來(lái)教育而言，非常重要。

現(xiàn)在的孩子，能夠接觸到的所有跟數(shù)學(xué)相關(guān)的教育渠道有哪些呢？

從家長(zhǎng)們的討論看，自己數(shù)學(xué)不好，想提高孩子的數(shù)學(xué)思維感覺(jué)就是無(wú)門了，好像必須推給“學(xué)而思”了。

其實(shí)，在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，什么資源都不缺。這些年，關(guān)于數(shù)學(xué)思維的討論多了，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源也多了。

第一類，最常見(jiàn)的就是課內(nèi)數(shù)學(xué)的補(bǔ)充，比如學(xué)而思這種課外輔導(dǎo)班、奧數(shù)班；

第二類，不以應(yīng)試為目的的數(shù)學(xué)思維啟發(fā)課程，以低齡為主，一般針對(duì)5-10歲的孩子；

第三類，網(wǎng)絡(luò)課程資源，比如說(shuō)像可汗學(xué)院這樣從數(shù)學(xué)起步的慕課課程，可以從數(shù)數(shù)一直教到微積分復(fù)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)，經(jīng)過(guò)很多人驗(yàn)證，完全可以達(dá)到相應(yīng)的數(shù)學(xué)層級(jí)的要求。

這么多資源，如果要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，真正可以用得上是哪些資源呢？

關(guān)于奧數(shù)班

奧數(shù)班、學(xué)而思到底好不好？

我從小學(xué)開(kāi)始進(jìn)入奧數(shù)班，一直到中學(xué)六年，后來(lái)又專業(yè)讀數(shù)學(xué)。雖然不才，沒(méi)有成為數(shù)學(xué)家，好歹也有些經(jīng)驗(yàn)。

坦白講，我認(rèn)為解答難題是進(jìn)入數(shù)學(xué)思維的開(kāi)始。如果永遠(yuǎn)談基礎(chǔ)要扎實(shí)，不斷把過(guò)去學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單知識(shí)反復(fù)應(yīng)用，這是無(wú)助于數(shù)學(xué)思維的，這叫理科學(xué)習(xí)文科化、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)政治化。天天把加減法背到爛熟，也和數(shù)學(xué)思維沒(méi)有一毛錢關(guān)系。我們中國(guó)的老太太，在菜市場(chǎng)可以輕松玩轉(zhuǎn)加減法，她們可不一定有數(shù)學(xué)思維。

最近，國(guó)內(nèi)有個(gè)教育機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了美國(guó)奧數(shù)隊(duì)的教練，卡耐基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)教授羅博深做了一個(gè)講座，他也談到這個(gè)問(wèn)題：中國(guó)孩子做題很快，而數(shù)學(xué)真正的樂(lè)趣在于做難題，挑戰(zhàn)自己，而不是重復(fù)計(jì)算機(jī)可以做的事情。

我讀書時(shí)還沒(méi)有什么課外輔導(dǎo)班，都是學(xué)校老師召集一些尖子生在搞奧數(shù)；現(xiàn)在聽(tīng)說(shuō)已經(jīng)不同了，學(xué)校老師不敢z也不愿意去承擔(dān)這項(xiàng)工作，奧數(shù)也不再是少數(shù)人的事情，全民學(xué)奧數(shù)，成了商業(yè)機(jī)構(gòu)的盈利點(diǎn)。

學(xué)而思或者奧數(shù)班，能夠推動(dòng)孩子們，從具體到抽象，去解決較難的、進(jìn)階的問(wèn)題，這是好的一面。

可是我們見(jiàn)到的奧數(shù)班普遍存在著一種傾向——同一類問(wèn)題的熟練程度掌握（刷題）。雖然提高難度很有意義，可是難度提高之后，就在這個(gè)難度上反復(fù)訓(xùn)練直至熟練掌握套路，這就犯了與課內(nèi)教育相同的錯(cuò)誤，又偏離了向數(shù)學(xué)思維行進(jìn)的方向。

關(guān)于數(shù)學(xué)思維啟蒙班

上周，我就帶著8歲多的兒子，親身去體驗(yàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)思維啟發(fā)課程：教具十分新穎，教學(xué)思路也比課堂和輔導(dǎo)班有趣得多。

可是它的不足在于，它的高度并不是逐層向上累進(jìn)，而是一種散點(diǎn)式的頭腦體操，比如說(shuō)今天拼個(gè)圖，明天做個(gè)棋類的數(shù)字游戲。對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，只能起到一半的作用。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源及其他

可汗學(xué)院的數(shù)學(xué)課應(yīng)該大家都比較熟悉了，現(xiàn)在也已經(jīng)有了中文版，不了解的可以到搜索一下。剛才說(shuō)的羅博深教授也做了一個(gè)網(wǎng)站（https://www.expii.com/solve），據(jù)說(shuō)是選出了350道有趣的題目讓大家免費(fèi)挑戰(zhàn)。

現(xiàn)在也有很多翻譯著作非常好，如我已經(jīng)推薦過(guò)的《數(shù)學(xué)很好玩》（具體名字記不清了），就是從身邊的數(shù)學(xué)談起，引申到6個(gè)數(shù)學(xué)難題，展示了數(shù)學(xué)之美與深?yuàn)W。

《迷人的數(shù)學(xué)》這本書，是兒子的同學(xué)家長(zhǎng)借給我的，也是很不錯(cuò)的書，適合中學(xué)的孩子了解數(shù)學(xué)史。

這類關(guān)于數(shù)學(xué)思維的書籍，近些年來(lái)隨著這個(gè)概念的興起，而不斷傳入中國(guó)。有心人都可以找到。

我來(lái)總結(jié)一下，數(shù)學(xué)思維培育的大致路徑是這樣：

通過(guò)課內(nèi)學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步具備解決基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力→通過(guò)一些數(shù)學(xué)思維課進(jìn)一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)的興趣→找到可汗學(xué)院這樣的系統(tǒng)學(xué)習(xí)平臺(tái)，通過(guò)不斷推進(jìn)學(xué)習(xí)新知識(shí)來(lái)強(qiáng)化舊知識(shí)的掌握→有興趣的同學(xué)學(xué)奧數(shù)解決數(shù)學(xué)難題

有了這種抽象的思維能力之后，再去看待現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的頭緒紛雜的事情，能夠根據(jù)已有的形式的符號(hào)代入，來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題，這才是真正的數(shù)學(xué)思維的一種循環(huán)。

怎么規(guī)劃數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？

雖然越來(lái)越多家長(zhǎng)意識(shí)到數(shù)學(xué)思維的重要性，可是有多少家長(zhǎng)會(huì)對(duì)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題做系統(tǒng)性的思考呢？根據(jù)我的觀察，很少很少。

很多家長(zhǎng)本身從小就對(duì)數(shù)學(xué)充滿了恐懼，現(xiàn)在忽然意識(shí)到數(shù)學(xué)思維是影響孩子未來(lái)成長(zhǎng)的重要因素，既茫然又焦慮，更容易無(wú)方向地亂撞亂試。

到底該如何制定一個(gè)有目標(biāo)的整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)劃？

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，離不開(kāi)兒童認(rèn)知的發(fā)展。所以，我們還是有必要先看一看皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展四階段理論。到目前為止，這還是被廣泛認(rèn)同的。

第一階段：感知運(yùn)動(dòng)階段（0-2歲）；

第二階段：前運(yùn)算階段（2-7歲），兒童認(rèn)知出現(xiàn)象征或符號(hào)功能。這一階段又劃分為兩個(gè)階段：前概念或象征思維階段（2～4歲）和直覺(jué)思維階段（4～7歲）。

第三階段：具體運(yùn)算階段（7-12歲）：兒童這時(shí)進(jìn)行的運(yùn)算仍需具體事物的支持，對(duì)那些不存在的事物或從沒(méi)發(fā)生過(guò)的事情還不能進(jìn)行思考。

第四階段：形式運(yùn)算階段（12-15歲）：思維不必從具體事物和過(guò)程開(kāi)始，可以利用語(yǔ)言文字，在頭腦中想象和思維，重建事物和過(guò)程來(lái)解決問(wèn)題。

并不是所有兒童都在同一年齡完成相同的階段，但這些階段都是必經(jīng)的。

在此，給大家?guī)c(diǎn)可以操作的建議：

直覺(jué)思維階段

在孩子早期的時(shí)候，例如四到六七歲，可以用形象的方式讓孩子對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)始有感覺(jué)。比如說(shuō)各種各樣的游戲，包括益智類桌面游戲；還有現(xiàn)在層出不窮的數(shù)學(xué)繪本。蒙特梭利教具，也是這一階段不錯(cuò)的選擇。

在早期，孩子對(duì)抽象思維是沒(méi)有興趣的，應(yīng)該用形象的游戲化的方式激發(fā)孩子的興趣。

我十分認(rèn)可這種引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的入門做法。可是，作為一個(gè)專業(yè)學(xué)數(shù)學(xué)的人，我也得明確告訴大家——真正的數(shù)學(xué)思維恰恰在于抽象的能力，不要指望完全通過(guò)形象化的方式來(lái)建立數(shù)學(xué)思維。

根據(jù)皮亞杰的觀點(diǎn)（《智力心理學(xué)》），很多孩子的智力不差，但是數(shù)學(xué)能力卻不好，這是一個(gè)世界常見(jiàn)的現(xiàn)象。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？

什么是智力？智力是我們解決問(wèn)題本身的邏輯思考能力?？墒菙?shù)學(xué)卻是了解邏輯結(jié)構(gòu)的專屬科學(xué)。

我們不了解邏輯結(jié)構(gòu)但依然可以用邏輯用得很好，就好比很多人不了解樂(lè)理，但是唱歌唱得很好，但這樣的人不能說(shuō)他音樂(lè)素養(yǎng)很高。同理，很多智力很高、數(shù)學(xué)能力很差的孩子也佐證了這一點(diǎn)。

從這個(gè)角度，益智游戲是可以激發(fā)人的智力，但是如果不加引導(dǎo)，還是無(wú)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維。

具體運(yùn)算階段

這個(gè)階段大概在7-12歲，就是小學(xué)階段。這個(gè)階段，家長(zhǎng)應(yīng)該開(kāi)始密切觀察，當(dāng)孩子對(duì)這些益智游戲有感和某些數(shù)學(xué)難題有興趣的時(shí)候，要開(kāi)始進(jìn)入數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)。

如果家長(zhǎng)自己無(wú)法把游戲轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就要借助專業(yè)機(jī)構(gòu)的一些課程，比如學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，或者可汗學(xué)院的初級(jí)課程。課外的某些數(shù)學(xué)思維課程，也是可以嘗試的。這些課程普遍會(huì)在形式上下功夫，比較有趣。

這類數(shù)學(xué)游戲其實(shí)在某寶上特別多，大同小異，可以讓孩子玩玩，不要太迷信就是了，會(huì)玩游戲和學(xué)數(shù)學(xué)還是兩碼事。

形式運(yùn)算階段

到了初中階段（12-15歲），就是真正塑造數(shù)學(xué)思維的階段了。在這個(gè)時(shí)候，如果真要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，就應(yīng)該快速向前，推動(dòng)孩子從形象表達(dá)、圖形表達(dá)中迅速上升到抽象表達(dá)，要鼓勵(lì)孩子邁過(guò)抽象這個(gè)難關(guān)，這可能才是真正培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的開(kāi)始。

當(dāng)觀察到孩子通過(guò)形象化的方式對(duì)數(shù)學(xué)建立起一定的認(rèn)知，能夠解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題后，要馬上進(jìn)入下一步，進(jìn)入抽象的能力。

什么叫抽象的能力？前面說(shuō)的失蹤彈孔的故事說(shuō)的是一個(gè)抽象能力，把具體的現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，抽象成數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，再通過(guò)數(shù)學(xué)中已有的結(jié)論來(lái)解決。

這個(gè)過(guò)程恰恰是形象思維的反過(guò)程，是真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程。

我認(rèn)為數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)不可缺少的因素：

第一個(gè)是用數(shù)學(xué)的方式把具體問(wèn)題抽象出來(lái)的能力；

第二個(gè)是感受純數(shù)學(xué)之美的能力。

數(shù)學(xué)之美的傳遞，絕不是依靠機(jī)械傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，很多數(shù)學(xué)家都在數(shù)學(xué)教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。

在《愛(ài)與數(shù)學(xué)》這本書中，著名的數(shù)學(xué)家愛(ài)德華.弗倫克爾這段話寫得非常好，就好像是我們中國(guó)的數(shù)學(xué)教育的寫照，看來(lái)全世界的數(shù)學(xué)教育都差不多——

如果學(xué)校在我們必修的“美術(shù)課”上只教給我們粉刷籬笆的方法，卻從來(lái)不各我們展示達(dá)芬奇與畢加索的作品，那么大家會(huì)有什么樣的感覺(jué)呢？這樣做能提高藝術(shù)鑒賞力嗎？你還會(huì)有學(xué)習(xí)的欲望嗎？我想答案是否定的。。。但是，學(xué)校就是這樣教授數(shù)學(xué)的。因此，在大多數(shù)人眼中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)毫無(wú)意義，就像在籬芭旁邊坐等油漆干透。

想要看到美術(shù)大師們的畫作并不那么困難，但是數(shù)學(xué)大師們的研究成果卻通常被束之高閣。

數(shù)學(xué)教育是如此僵化，我們也只能依靠自己了。

要敢于去理解抽象，敢于去挑戰(zhàn)，這是建立數(shù)學(xué)思維需要具備的能力。這是父母必須傳遞給孩子的，鼓勵(lì)他們，而不僅僅是把他們送到輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，學(xué)會(huì)刷題。

當(dāng)然，到了這個(gè)階段，自學(xué)能力是更為重要的，父母除了精神鼓勵(lì)、幫忙找找學(xué)習(xí)資源之外，已經(jīng)很難進(jìn)行具體的指導(dǎo)了。

關(guān)于進(jìn)入形式運(yùn)算階段的年齡，按照皮亞杰的觀點(diǎn)，可能要到12歲以上，才會(huì)有這種抽象思維的能力。不過(guò)很多偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家可能十四五歲時(shí)已經(jīng)在學(xué)微積分了。

皮亞杰的時(shí)代已經(jīng)過(guò)去幾十年，時(shí)代環(huán)境都在變化，其實(shí)是不能迷信的。但是目前很多早教和兒童發(fā)展的觀點(diǎn)還是延用了他的觀點(diǎn)。

我的態(tài)度是，每個(gè)孩子的情況不同，需要家長(zhǎng)細(xì)心觀察。

結(jié)語(yǔ)：

前面提到的數(shù)學(xué)思維，其實(shí)并不屬于專業(yè)的數(shù)學(xué)家范疇。

數(shù)學(xué)家愛(ài)德華說(shuō)，我們學(xué)幾個(gè)和弦可能就能彈奏吉他來(lái)點(diǎn)綴生活，但絕不是要求你成為一個(gè)音樂(lè)家或吉他演奏專家。

我們了解數(shù)學(xué)的基本概念，有一定的抽象能力，能夠感受數(shù)學(xué)之美，就能在生活中、學(xué)習(xí)其他學(xué)科時(shí)游刃有余了，并不是要求孩子們都成為數(shù)學(xué)家。

殘忍地說(shuō)一句，如果你不想當(dāng)甩手掌柜，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，某種程度上來(lái)說(shuō)還是要依靠家長(zhǎng)自身的視野和對(duì)資源的把控力（另外，你自己首先要克服當(dāng)年對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼吧，否則這種心態(tài)也是會(huì)傳染的）。

在這個(gè)日新月異的時(shí)代，一個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)尚且如此，更不要說(shuō)給孩子制定更加系統(tǒng)的成長(zhǎng)和學(xué)習(xí)的規(guī)劃了。

來(lái)源：蜂窩兒童互聯(lián)網(wǎng)實(shí)驗(yàn)室