孩子數(shù)學思維啟蒙中的難點，家長究竟應該怎么破解？

孩子數(shù)學思維啟蒙中的難點，家長究竟應該怎么破解？

2016-11-24 夏駿軼 爸爸真棒 爸爸真棒

爸爸真棒 

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“

我們的專欄作家培飛思維數(shù)學教研總監(jiān)夏駿軼老師大家都很熟悉了，他之前的文章《為什么有些起點還不錯的孩子，到后面數(shù)學會越學越差？深度好文！》得到了很多家長以及老師的點贊，文章詳細分析了孩子學習數(shù)學過程中出現(xiàn)的問題和原因。今天，他將再來和大家聊聊孩子思維數(shù)學學習中的困惑與對策。

”

有些機械的重復教育，最終會導致孩子出現(xiàn)假聽、假說、假讀、假寫的情況，換一種說法，也就是孩子是靠記憶而不是靠思維掌握了相關(guān)的知識，孩子進入記憶學習層面，卻不能進入思維學習層面。

那么，真正好的數(shù)學思維啟蒙，應該是什么樣的呢？根據(jù)我多年的教學經(jīng)驗，以下三點是最重要的——

發(fā)掘最本質(zhì)的樂趣 

其實數(shù)學學得好的孩子，往往都是在數(shù)學學習中尋找到樂趣的幸運兒，他們憑著天生對抽象和數(shù)字的敏感性，在學習的名義下，找到了一種“玩”的方式，更妙的是，這種“玩”的方式還能得到老師、家長的表揚和青睞，這是多么美妙的一件事?。W霸應運而生絲毫不令人意外。

那么，這些學霸們到底在數(shù)學中玩了一些什么呢？

其實每個年齡段，孩子玩數(shù)學的內(nèi)容都不同，樂趣也不盡相同。比如，說一下——

數(shù)學啟蒙中的經(jīng)典游戲：躲貓貓

著名的瑞士發(fā)展心理學家皮亞杰管這個理論就叫做“客體永久性”，他表示，寶寶在最初2年都是在“學習”這個理論，躲貓貓絕不僅僅是個游戲，它能幫助寶寶反復測試存在的理論基礎——即事物不會因為看不見而不存在，如果用看不懂的話說就是——“兒童具備了，脫離對物體的感知而仍然相信該物體持續(xù)存在的意識”。

這個就是數(shù)學學習基礎中的基礎。

如果孩子對客觀世界不能形成一個穩(wěn)定存在的概念，那他全部的大腦資源都會用來去應付紛繁復雜的眼前變化。從而根本不能從眼前事物抽象出數(shù)學概念。

等孩子稍大一點，分東西，放東西，藏東西又成為他們的樂趣，同樣的在這些玩樂的背后，依然蘊藏著數(shù)學啟蒙的認知邏輯。

舉個例子：

學習運算的前概念：分東西

把小豆子分到不同的碗里，把蘋果分給你和我?！胺帧笔且粋€非常重要的動作概念。這既是部分和整體概念形成的核心，也是學習運算的前概念。孩子理解和學習抽象事物，不是光從物體的表面屬性中汲取的，而是通過運動和操作學習的。

再來舉個例子：

如何用積木讓孩子理解加減法

我們常?？吹礁改赣靡粔K積木代表“1”，用另一塊積木代表另一個“1”,想要用實物告訴孩子“1+1=2”的數(shù)學概念，卻發(fā)現(xiàn)怎么說孩子都不明白。

這種情況，大部分是家長本身忘記了“+”這個抽象概念，或者想講但是講不清楚“+”的意義。這是為什么呢？因為“1”你已經(jīng)用積木來表征了，孩子能夠看到，并且能夠想象，但是“+”不是一個實物，家長沒有辦法用具體物品來表達。

一種可行的方法是，通過動作來表征“+”，比如把兩塊積木用手攏到一起，來表達“變成一起的”這樣一個概念，同時告訴孩子，這種變化叫做“+”，孩子馬上就明白了——“+”就是兩個集合中數(shù)的合并。

這里有兩個關(guān)鍵因素：

一個是讓孩子關(guān)注到具體變化（運動），進而理解抽象（想象中）事物的變化。原來是怎么樣的？最后變成什么樣？然后去思考過程中是怎么變化的；

二是讓孩子關(guān)注到變化所形成的事物關(guān)系，以及形成的數(shù)字關(guān)系。比如“1和2的區(qū)別，三角形和正方形的相同點和不同點”，又比如：“341”這個三位數(shù)中，每個數(shù)位上數(shù)之間有啥關(guān)系？，兩個數(shù)之間的倍數(shù)、多少、大小都體現(xiàn)了彼此的抽象關(guān)系。

我們傳統(tǒng)的學習方法是從認知概念入手，通過練習達到理解，理解后再通過更大量的練習到達融會貫通的應用階段。這種方法好像在沙漠中拓荒，學習效果十分不理想，因為孩子對知識的理解是點狀的、固態(tài)的和片面的，并且不是內(nèi)驅(qū)動性的。

對于真正的學習者而言，他們會從大量的“玩”中構(gòu)建自己對概念的理解，再把概念放到解決具體問題中進行應用，從而升華自己所學習到的，他們在玩中建立了抽象概念對自己的意義，把他們頭腦中的東西變成了自己的。

所有的概念本來就是從大量實際操作中提煉出來的，我們希望讓孩子少走彎路，希望先在他們腦中植入概念，再進行理解，其實是緣木求魚。而玩的過程，享受玩的樂趣的過程，就是知識建構(gòu)過程，好像大樹的生長，看到的只是表面，根的生長我們看不見，這個根就是玩。

數(shù)學學習來說，更是如此，認知心理學告訴我們，動作水平的操作是兒童抽象邏輯思維發(fā)展的途徑。兒童在操作活動中，可以獲得對應、多少等邏輯的經(jīng)驗，這些邏輯經(jīng)驗起初依賴于具體的、外在的動作，逐漸發(fā)展成為一種心理動作。

孩子只有大量的數(shù)理游戲經(jīng)驗和操作經(jīng)驗，才有抽象升華的基礎和可能，而這種升華的經(jīng)驗則是數(shù)學學習中最大的樂趣，也是本質(zhì)性的樂趣。

對孩子而言，他們經(jīng)過苦思冥想，忽然有一道亮光擊中他們，好像宇宙鴻蒙初開的那一瞬間，一切事物都豁然開朗，他們突然遇見了一個新世界（可以抽象的舉一反三了），所有之前無意識的玩都有了意義，數(shù)字在對他們說話，在表達，那么這事就成了。

不知道大家注意到了沒有，大多數(shù)的“牛蛙”基本都是非常會玩的，他們不是光數(shù)學好，往往都是全面發(fā)展的，原理就在此——他們在學習中獲得了高峰體驗，獲得了本質(zhì)的樂趣。

所以，關(guān)于數(shù)學學習的樂趣，個人總結(jié)下來有三點：

1

萬物皆動—世界一切事物都在變化，我們能夠觀察到變化，也能認識變化，并引發(fā)變化。

2

萬物互聯(lián)—樂于觀察、探索和理解具體事物之間關(guān)系，進而探索數(shù)字之間的抽象關(guān)系。

3

萬物皆數(shù)—樂于通過抽象數(shù)字來理解具體事物規(guī)律，又能運用想象從抽象中還原具體事物。

這三者，最核心的樂趣，就是抽象的想象力。

用數(shù)學的眼界看世界 

有很多家長會把數(shù)學單純的理解為數(shù)字和計算，更進一步的說，家長會把孩子的數(shù)字認知歸結(jié)為會認、會讀、會寫、會數(shù)、會算，而把計算歸結(jié)為讀題準確、結(jié)果正確和速度快。所以綜上所述，數(shù)學的學習就是會認、會讀、會寫、會數(shù)、會算，讀題準確、結(jié)果正確和速度快。

這種觀念究竟對不對呢？這里我們來仔細分析一下。

先說“會認、會讀、會寫、會算”。大家知道，“數(shù)”，本來不是這個客觀世界的真實產(chǎn)物，也不是具體事物，而是人基于客觀事物形成的一種概念，是抽象而主觀的，是數(shù)量關(guān)系在大腦中的反映。

簡單來說，“數(shù)”就是想象出來的概念，且是事物本質(zhì)層面的概念。

而我們剛才說到的“會認、會讀、會寫、會算”的“認、讀、寫”都是數(shù)字表象層面的認知，而單純數(shù)數(shù)，大部分的孩子也是照本宣科、有口無心、機械記憶,并沒有理解數(shù)字本質(zhì)的核心意義，然后我們跳過了本質(zhì)理解和認知構(gòu)建，直接讓孩子進入了“算”這個應用層面的操作，這樣對客觀世界經(jīng)驗非常欠缺的孩子而言，理解數(shù)字就變得非困難了。

那數(shù)字本質(zhì)層面的理解是怎么樣的呢？

1、2、3、4、5、6，哪個數(shù)字比較特別？

大家覺得這六個數(shù)字哪一個數(shù)字比較特別？

我相信有人會說“1”，因為“1”代表了萬物起頭，“一生二、二生三，三生萬物”。也會有人說“2”，因為這是自然數(shù)中最小的偶數(shù)，也是最小的素數(shù)，哥德巴赫猜想怎么說來著？“是否每個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和？”或者有人會說是“3”，因為“3”形成了多樣性，最小的形狀是3角形，基本的顏色是紅黃藍，事物發(fā)展的過程是開始、經(jīng)過和結(jié)局，上帝的特質(zhì)是三位一體，三生萬物。等等……

但是，古希臘人卻認為“6”是特別的，你看，“6”可以分成1份，2份和3份，并且1+2+3=6,所以，他們把“6”稱為“完美的數(shù)字”，第二個完美的數(shù)字是“28”,然而第三個完美的數(shù)字則變成了496。如果我們把這些告訴孩子，并讓他們?nèi)プ晕姨剿?，大家覺得這種方法和我們剛才講的“會認、會讀、會寫”有什么不同的地方？

的確，古希臘人所關(guān)注的不只是數(shù)字本身，而是數(shù)字之間的關(guān)系，用數(shù)字間關(guān)系的視角去引導孩子理解數(shù)字，建構(gòu)數(shù)字概念，孩子所認識的數(shù)字就不會是割裂的，而是有聯(lián)系和有意義的。

大家需要注意的是，我們的大腦只會記住有意義的事物，而對無意義的事物很快就會淡忘。數(shù)字作為抽象的符號，如果不能在孩子心中建構(gòu)出意義來，是沒有辦法讓孩子真正掌握的。剛才說到數(shù)學學習的樂趣之一“萬物互聯(lián)”就是這個意思——關(guān)系產(chǎn)生意義。

數(shù)學前概念構(gòu)建有多重要

有的家長或許會有疑問，這樣的內(nèi)容對孩子數(shù)學啟蒙來說是否太難了?

其實真正的啟蒙的確可能要更為基礎，比如：

抓一把小石子，請孩子放進若干個小紙杯，每個紙杯放一顆。等孩子熟練了，可以嘗試每個紙杯放兩顆。

再換一種方式，和孩子一起數(shù)數(shù)，從1個1個數(shù)，到2個2個數(shù)，再到3個3個數(shù)，123，456，789……

還可以和孩子玩變魔術(shù)的游戲——放7塊小積木在孩子面前，請孩子閉上眼睛，然后用紙杯蓋住2個，請孩子猜猜剛才魔術(shù)師變走了幾塊積木等等。

這些數(shù)學活動，滲透了加減乘除的核心，以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系本質(zhì)，眼界不僅僅釘在表面的、現(xiàn)象的、刻板的數(shù)學知識，而是通過多側(cè)面活動來影響構(gòu)建孩子內(nèi)部對數(shù)字的認知，當孩子正式學習數(shù)學知識的時候，理解起來事半功倍，我們把這些稱為數(shù)學前概念的構(gòu)建。

而當孩子們長的更大一些以后，我們需要幫助他們更深入的去探索數(shù)學本身的規(guī)律性，并且更重要的是，要幫助他們把數(shù)學和世界做更多的鏈接。

回到“眼界”這個主題——在數(shù)學學習上，我們的孩子不但需要有深入思考問題的能力，更需要學會用數(shù)學的眼光看世界，學會用數(shù)學方法解決實際問題。不僅僅把“眼界”停留在題目上，不光是數(shù)字和計算，而是應該把眼界放大到真實的世界上。通過世界現(xiàn)象理解數(shù)學的本質(zhì)，這樣往往能夠使我們的孩子觸類旁通，獲益更多。

讓我們打開一扇窗，看看《全美數(shù)學教師理事會》（NCTM）為了拓展孩子數(shù)學境界所編寫的框架，NCTM提出有關(guān)學校數(shù)學教育中應當重視的諸多方面的建議標準，闡述了在建構(gòu)主義教學觀指導下，孩子應該學習掌握什么樣的數(shù)學，其中包含了兩大模塊：

數(shù)學內(nèi)容標準；

數(shù)學過程標準。

這兩者，前者表述了孩子應該學習的數(shù)學內(nèi)容，后者是強調(diào)了獲得和應用知識的方法，兩下交叉融合，大致內(nèi)容包括：

所以，我們大概可以想象，在這種數(shù)學學習的指導思路下，孩子數(shù)學學習的廣度和寬度所涉及的范圍會是怎樣的，孩子的眼界和思維又會得到怎樣的提升，或許在數(shù)學學習的起步階段，這些孩子的計算能力的確會遠遠落后我們的孩子，但是隨著年齡的增長，他們的思維能力會超越我們的孩子，因為我們孩子的眼界停留在計算中，禁錮在碎片化的知識結(jié)構(gòu)中。

發(fā)展到今時今日，現(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)是一個非常龐雜的系統(tǒng)，遠遠超過了我們對數(shù)學傳統(tǒng)的認識。數(shù)學不光是代數(shù)、幾何、分析這幾門經(jīng)典學科，從大類分，一個分支是純粹數(shù)學，另一個分支是應用數(shù)學，純粹數(shù)學越來越抽象，而且在深入的基礎問題討論中顯得“神叨叨”，我們基本看不懂。應用數(shù)學中更是包羅萬象，形成了數(shù)學物理、生物數(shù)學、數(shù)理經(jīng)濟學、統(tǒng)計學、運籌學、控制論等新興學科。

但是，這些學科的結(jié)構(gòu)和發(fā)展，與孩子的數(shù)學學習相比，完全不是一回事。數(shù)學研究是用原理證明現(xiàn)象和問題，數(shù)學應用是用原理解決問題，而數(shù)學學習是通過現(xiàn)象理解原理，并進行實踐應用。

在我們傳統(tǒng)的數(shù)學教育中，數(shù)學作為一種既定的學科經(jīng)驗出現(xiàn)在孩子們面前，基本是套用學科研究或者數(shù)學應用的知識結(jié)構(gòu)來進行學習，這在心理學中被稱為學科中心主義。說的是以本學科的學術(shù)框架為中心和價值來選擇學習內(nèi)容和研究對象。學習的基本路徑是從前人總結(jié)的抽象概念入手，達到表象（形式）理解，從表象理解通過大量練習進到本質(zhì)的理解，再回來進行應用來驗證學習理解的程度。

簡單來說就是先說概念、再舉例子、大量練習，最后考試！而結(jié)果往往最后異化為做題！做題！做題!

我們的孩子通過這種方式學習數(shù)學，很難建立起學習的意義，也不可能建立數(shù)學和真實世界的聯(lián)系，除了一些天才兒童，大多數(shù)孩子學到的是表象的數(shù)學知識，而無法理解數(shù)學本質(zhì)，更無法建立數(shù)學思維，自然反而會越學越笨了。

所以，究竟該為孩子選擇什么樣的數(shù)學學習方式，的確需要我們好好思考。

把握時機啟動“機會之窗” 

我想，會有家長問：“我也同意目前的學校教育不能滿足孩子發(fā)展需要，但是作為家長，除了為孩子報課外的學習班，又該如何幫助孩子呢？”

這的確是一個非常難解的問題，涉及的方面很多，有教育制度層面，社會結(jié)構(gòu)層面，家長、學校的認識問題，還有孩子個體差異性等等，我在這里沒有辦法給出一貼包治百病的萬能藥，但是有些原則可以參考。

“時機”，在這里的意思有兩個層次，一個是孩子生長中的各種敏感期，二是在生活中、學習過程中的隨時發(fā)生學習機會之窗。

關(guān)于敏感期，有很多的文章論述過，我就不多講什么了，有一點需要提醒的，就是敏感期并不絕對，有的時候孩子似乎錯過了敏感期，但如果家長堅持通過游戲激發(fā)孩子，他們依舊可以有非常好的反饋，我們需要知道的是，我們的大腦是有很強的可塑性的，哪怕成年以后依舊是這樣。

其次是在日常中的機會之窗?！皺C會之窗”本來指的是敏感期，我在這里借過來解釋所有能夠幫助孩子拓展學習興趣，引發(fā)孩子思考的所有機會。我們在日常教學中往往把教學活動分為結(jié)構(gòu)化活動和非結(jié)構(gòu)化活動，簡單說就是課程和自主活動，而孩子大量的自我探索都在后者中完成，生活則是孩子自主活動的主要來源。

比如分一下餐桌的碗筷，清點儲蓄罐里的硬幣，搭建積木、道路上的樹木和電線桿、樓房層數(shù)清點，各種形狀的發(fā)現(xiàn)，這些活動中都蘊含著大量的機會之窗，有很多啟動隨機教學的機會。這里有一點需要提醒大家，現(xiàn)在有些教育觀點強調(diào)讓孩子自主性理解和學習數(shù)學，好像只要讓孩子看一看、摸一摸那些直觀的東西，就能使得孩子從具體經(jīng)驗中自動發(fā)生抽象認知。這種觀點個人覺得有待商榷。

我的建議是，家長應當在適當?shù)臅r候PUSH孩子，輕推一把，使得孩子可以越過具象和抽象世界的鴻溝，以達到理解抽象的程度。我們稱之為“點撥”。

不過需要注意的是，既然說是“點撥”，切忌推著孩子走，最好的方式是“引”著孩子走，用現(xiàn)象中出現(xiàn)的矛盾和有趣現(xiàn)象，引導孩子一步步深入的思考。所用到的方法可以有：發(fā)散點撥、迂回式引導、認知支架、現(xiàn)象歸類總結(jié)等等，但是需要注意的原則是：

1

注意“機會之窗”可以由家長啟動，但必須由孩子結(jié)束

2

引發(fā)興趣是第一要務，確保和孩子保持游戲連結(jié)，不要變成教導或者考核；（有些家長動不動就玩“讓我考考你”的游戲，其實實在不好玩）

3

學會講故事；數(shù)學也是可以有很多想象空間的，目前市場上有很多數(shù)學類的繪本，家長可以借鑒，幫自己開開腦洞；

4

探討可以從問題開始，到思考結(jié)束，不必強調(diào)結(jié)論，如果可以，請孩子自己總結(jié)。

5

內(nèi)容上可以注重數(shù)和數(shù)感、量、比較、部分整體；形、時間、空間，形式上注重關(guān)系、運動變化和具象到抽象轉(zhuǎn)換；

6

不要光說，要畫、要玩，要讓孩子自己說。（信息獲取中，聽的效果只占7%）

不過話說回來，就算方法、原則都執(zhí)行的非常完美，由于孩子的個體差異性，學習效果依然會千差萬別，各位爸爸媽媽難免心生焦慮，我也非常理解。

但我相信，只要我們堅持走在正確的道路上，保持信念和樂觀，孩子內(nèi)在的生命必然會成長的時候，我們需要更多的耐心，給予孩子生長的時間。澆水施肥曬太陽，然后樂呵呵的等待花兒生長開花，這是種花的樂趣，不也是培育一個孩子的樂趣所在嗎？

如果真的有了問題，更不能病急亂投醫(yī)，遵循客觀規(guī)律循序漸進，打好基礎才是正道！另外，一般來說，孩子數(shù)學思維啟蒙在中班前后，而真正的理解抽象思維要到小學三年左右，在青春期后期還有一個思維的飛躍，我們需要根據(jù)孩子不同年齡階段提供他們不同支持，對于低幼的孩子，主要的任務還是是培養(yǎng)數(shù)學興趣，增加數(shù)學經(jīng)驗，做好啟蒙工作。

說一千道一萬，基礎非常重要，興趣更重要！祝愿我們的孩子都能愛上數(shù)學，讓數(shù)學成為他們?nèi)松缆飞铣志玫膸椭?，能夠助力孩子們遠行、馳騁！