一直以來，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法都是錯的

我在上一篇專欄文章《大學(xué)生要讀書，但不能變成書呆子》中，談了自己對大學(xué)新生在讀書方面的一些建議。

閱讀也好，學(xué)習(xí)也好，要在得法。在這個海量信息的大數(shù)據(jù)時代，學(xué)習(xí)的目的在于訓(xùn)練自己的思維，在于把自己的大腦鍛造成快速處理復(fù)雜信息的CPU、一個高精尖的處理器，而不是一塊隨時可擦寫、存儲無用信息并經(jīng)常在考試之后就格式化得一干二凈的硬盤。這樣的硬盤用的時間長了，不經(jīng)常清理磁盤也是要留下后遺癥的。

幾年前，曾看過一篇《中學(xué)教師向院士疾呼“救救數(shù)學(xué)”》的新聞（現(xiàn)在算是舊聞了）。大體背景是中國科學(xué)院大學(xué)舉辦了一場中學(xué)教師回大學(xué)的活動。一直熱心數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家楊樂院士，發(fā)表了對中學(xué)數(shù)學(xué)教育的幾點看法，隨后則是現(xiàn)場來自全國各地的二十幾位中學(xué)數(shù)學(xué)教師紛紛向楊老訴苦。我高中畢業(yè)也有十多年了，不過，看到報道中談及的諸多情形，還是似曾相識，頗有不吐槽不快活之感。核心的問題是方法。

報道中說，有教師反映，“這些孩子在初中時基礎(chǔ)沒有打好，一個簡單的因式分解變形就讓很多學(xué)生折戟在60分大關(guān)?！?/p>

其實，這背后大約就隱含了某種方法問題。我們都知道，因式分解法與公式法是解決一元二次方程的兩種方法。相對來說，公式法更一般，因式分解則要依賴一定的條件。當(dāng)然，如果條件具備，因式分解法會更便利些。出題者設(shè)計的題目通常是走向兩個極端，要么是一眼便能看穿的、可用因式分解求解的，要么是用公式法算了半天到最后得到一個帶根號極變態(tài)的答案。高考命題者似乎形成了某種規(guī)律或說默契，一般便于用特殊技巧解決的題目和一般便于用幾何方法解決的題目，多出現(xiàn)在選擇題、填空題之中，就是要一個結(jié)果，不考察具體過程。在這種情況下，因式分解法是有不少益處的。

在方法與個案、一般與特例、普遍與異象之間，中國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)有一個趨向，即側(cè)重于后者。比如你發(fā)現(xiàn)勾三股四弦五是一組勾股數(shù)，你還可以找到勾五股十二弦十三也是一組勾股數(shù)。你還能發(fā)現(xiàn)楊輝三角這樣的特例。但是我們沒有把這些系統(tǒng)化地表達(dá)為畢達(dá)哥拉斯定理、二項式定理這樣的抽象和一般理論?；蛘呤窍抻诎ㄑ晕姆蛛x、科舉制度等方面的原因，有些規(guī)律雖然發(fā)現(xiàn)了，但很難通過教育的傳布讓更多人習(xí)得。想想很長一段時間以來的奧數(shù)狂熱，在很大程度上不也是隱含了同樣的動機？小學(xué)奧數(shù)大量存在的、實際是對不定解方程的“把玩”，其實正是中國自古以來一以貫之的對個案、特例、異象的窮盡探索，非如此無以言天才、稱神童。這類擬古式的純粹智力訓(xùn)練的意義究竟多大，值得思考。

楊輝三角

金庸在《射雕英雄傳》中寫黃蓉被裘千仞所傷，郭靖帶她去找南帝醫(yī)治，途遇瑛姑在那里琢磨數(shù)學(xué)題。其實這個“瑛姑難題”就是古代數(shù)學(xué)思想中有關(guān)物不知數(shù)問題或被稱為中國剩余定理的大衍求一術(shù)：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”以現(xiàn)代的表達(dá)方式就是這樣一組方程：3x+2=a，5y+3=a，7z+2=a。四個未知數(shù)、三個方程，顯然是不定解方程。不定解方程是中國古代最能顯示天才神童英雄本色的。

數(shù)學(xué)不只是數(shù)字和計算，更是邏輯和證明。人不能永遠(yuǎn)靠歸納、聯(lián)想、類比、比喻來表達(dá)思想、了解世界、發(fā)現(xiàn)真理。中國古代數(shù)學(xué)思想有著豐富的實踐土壤，從天文地理到水利灌溉，甚至風(fēng)水占卜，土木建筑，這些在古代社會的基本生存需要引導(dǎo)著具有強烈應(yīng)用性的數(shù)學(xué)的發(fā)展。然而遺憾的是，中國的代數(shù)與幾何思想雖源遠(yuǎn)流長，卻始終未能發(fā)展出一套具有抽象性符號語言的公理體系。

看一看市面上層出不窮、絞盡腦汁教小孩子逆向求解的那些題目和算法，有時不免讓人哭笑不得。比如，有人用吹哨抬腿法來解決雞兔同籠問題，什么第一聲哨抬起一只腳，第二聲哨又抬起一只腳，此時雞們都一屁股坐地上了，只剩下兔子還站著。這樣口沫翻飛地繞了半天彎子，講了半天段子，小孩子接收到的只是充滿笑點的特例。何不直接教他們消元法？

報道還說，當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教育，除了因式分解的“缺位”外，仍有不少在教師們看來本不該淡化和刪減的東西，也見不著了。一位高中高級教師說，現(xiàn)在一些高中需要用得到的“重心、內(nèi)心、外心”定義，“很多娃娃都不清楚”。

重心、內(nèi)心、外心的概念和相應(yīng)的練習(xí)，包括射影定理及其引申，其實90年代的初中課本也沒有，但老師不敢不額外花時間和精力去教，否則做題時就要傻眼，因而不至于像報道中所說，把責(zé)任推到高中去?，F(xiàn)在想想原因，大概是那時流通的題目大量還是此前版本教材所配套的，很多“精編”、“題庫”中都還是有涉及上述“超綱”知識點的內(nèi)容。如果當(dāng)下依然，那么教材的“減負(fù)”就只是一種“賬面”上的好看，于事無補。但如果考試時確實不考了，這些數(shù)學(xué)老師還這樣哭窮怨念，又不大合常理。由此看，這幾項內(nèi)容大概確實減不得，減了十多年了，仍然離不開它們。

不過，我們還需深入想一想，當(dāng)初許多額外補充的定理，教師和學(xué)生又有多少是真的把它真的當(dāng)做“定理”來學(xué)習(xí)和掌握的？我指的是，其實我們大部分人，還是從十分實用的角度，再次“化方法為特例”。掌握了這些特例，甚至死記硬背下來，做題目時可以方便地直接套用。這種對方法的玩世不恭和“調(diào)戲”，會帶來什么后果呢？其實那篇報道中也已經(jīng)有了答案。

報道引述一位大學(xué)教師的話，有一些數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生，不清楚什么是“定理已經(jīng)證明完了”，這就和他們沒有經(jīng)過嚴(yán)格的平面幾何訓(xùn)練有關(guān)。

不清楚什么是“已經(jīng)證明完了”，這是何等可怕的事！

這很容易讓我們聯(lián)想到另一個案例，就是高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法。它在高考試卷中總能占據(jù)12分左右的分值，一旦考試中出現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的題目，幾乎就等同于送分題。學(xué)生只消按著背好的規(guī)則從前往后推，推不動的時候，再看看要求證明的結(jié)論，然后從后往前推，正反兩頭一堵，中間模糊一下，哪怕未必真明白，到最后往往也能瞎貓碰上死耗子，通關(guān)了事。而閱卷老師呢，往往也沒法甄別學(xué)生是真的清楚，還是根本不清楚什么是“已經(jīng)證明完了”，最后多半會高抬貴手，放他一馬。如果方法本身成了一種禁錮人思維的固定套路，可以讓人濫竽充數(shù)而無法檢驗其是否真正掌握，那么這樣的教學(xué)效果和考試效果都應(yīng)該打一個問號。

方法具有某種擴張性，越是普遍性的方法，越是具有這個特點。而我們的數(shù)學(xué)教學(xué)從小學(xué)到高中的指導(dǎo)思想似乎經(jīng)歷了一個大轉(zhuǎn)彎，小學(xué)時特別重視解題思路的多元化、多樣性，到了中學(xué)、特別是高中又逐漸走向方法的一元化。

報道中引用了一位中學(xué)老師的一個例子，一道有關(guān)立體幾何的題目，問題是希望給出一個位置關(guān)系，教師們通常的教法是“用向量來求解”。

實際上，這就是把幾何問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題，如此十分簡單，學(xué)生們死記硬背幾個代數(shù)公式即可。這一點，在高考解題中十分常見。然而，這種“偷巧”的方法卻不利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

這里有一個問題或者困惑是，我們越小的時候，同時也是對辨別各種概念范疇越弱的時候，越是被訓(xùn)練多元化的思維，逆向思維，固然有時這種“訓(xùn)練”本身是很野蠻的，不被告知邏輯、只要求硬背的，但畢竟還是有多種道路可供選擇。可是越成熟之后，越被導(dǎo)向一種一覽無余的固定標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范。所以報道中提到的向量，高中出現(xiàn)后，幾何就被轉(zhuǎn)化成代數(shù)了，就可以脫離其形象而被抽象為數(shù)字坐標(biāo)，那種幾何特有的冥想和透視、即視感逐漸淡出學(xué)生的頭腦。初中開始大面積使用方程后，之前在小學(xué)實施的一系列多元路徑也被一統(tǒng)江湖了。這到底是簡化了問題，便利了人的思維，節(jié)省了時間，還是也有副作用？

如果說順向思維、標(biāo)準(zhǔn)路徑更有效率，那么小學(xué)的很多所謂“思維訓(xùn)練”，是否可以看作無用功？這個推論成立的話，那就應(yīng)該把方程提前到小學(xué)四年級，其立竿見影的效果恐怕就是：一直高燒不退的奧數(shù)會潰不成軍，因為它就是看準(zhǔn)了小學(xué)不教方程的順向思維，才得以拓展其生存空間。沿著這個思路繼續(xù)往前走就會看到，相對于所學(xué)的一般知識和掌握的普遍方法來說，小學(xué)的時間確實過于漫長而被浪費了。有文章考證了六年制起源于美國，五年制則是中國大躍進多快好省的產(chǎn)物。不過，要知道很多地方是五年制小學(xué)搭配四年制初中，小學(xué)難為中學(xué)，搞朝三暮四的幼態(tài)持續(xù)，機械地湊足九年義務(wù)教育，這又是何苦來哉？

回到數(shù)學(xué)教學(xué)的話題，雖然在小學(xué)高年級已經(jīng)開始接觸到方程的初步——“未知數(shù)”，但最多止步于一元一次。而實際上一元升二元，比一次升二次的接受度應(yīng)該快得多，完全沒必要只是在小學(xué)做個引子，到初中再去展開。小學(xué)和初中之間的銜接完全可以更緊密而不是現(xiàn)在這樣松散。在數(shù)學(xué)教學(xué)上，至少可以讓學(xué)生從接觸到未知數(shù)概念開始，一路探索下去，直到二次方程的銅墻鐵壁下，才適宜暫停腳步、休整待命。

這不是站著說話不腰疼，不是超越了小孩子學(xué)習(xí)能力的拔苗助長。真實情況是，大人們很多時候低估了孩子們的適應(yīng)能力，更低估了他們一旦萌發(fā)內(nèi)生興趣便可快速地從疑問、問題上升到問題意識進而形成的強大自主學(xué)習(xí)動力和潛能。最終是，以愛之名，減了“負(fù)擔(dān)”，敗了興致，拖了后腿，誤了子弟。歸根結(jié)底，要削數(shù)學(xué)教育之足以適高考之履，在選拔‘人才’和教授有用知識之間達(dá)致某種平衡，這兩點，都是很大的挑戰(zhàn)。

來源：大家