突破三道門檻，就能學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)

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突破三道門檻，就能學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)

第一、對(duì)于絕大部分兒童來(lái)講，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是為了成為數(shù)學(xué)家，而是為了鍛煉邏輯思維能力，或者說(shuō)促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。

第二、數(shù)學(xué)是一門有關(guān)于抽象概念及符號(hào)邏輯的學(xué)科，并且是一門對(duì)于逐級(jí)上升要求極高的學(xué)科，要讓大部分兒童掌握中小學(xué)數(shù)學(xué)，不是難事，只要抓住兩點(diǎn)：逐級(jí)上升，重視概念與符號(hào)的理解應(yīng)用。

數(shù)學(xué)教育名著《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中的一段話 ：

“如果是一步步地循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，誰(shuí)都會(huì)達(dá)到極高的高度。反之，想一下跳過(guò)幾個(gè)階段，因懶惰或生病缺席而未學(xué)應(yīng)掌握的定理、法則，就直接去學(xué)后面的內(nèi)容，則無(wú)論多么聰明的人都絕不可能學(xué)好。這是因?yàn)?，要理解某個(gè)定理甲，就一定要用到在甲定理前所學(xué)的某些定理和法則。即是說(shuō)，數(shù)學(xué)的一大特征在于：若依其道而行，則無(wú)論什么人都能理解它；若反其道而行，則無(wú)論多么聰明的人都無(wú)法理解它。” 
 

——米山國(guó)藏《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》

由于數(shù)學(xué)的知識(shí)是在人類發(fā)展過(guò)程中，通過(guò)漫長(zhǎng)的歲月積累起來(lái)的，起初知識(shí)都是零散的，是后人不斷努力，將它們組織成一個(gè)精巧的體系，因此，不要認(rèn)為兒童自己就能琢磨出數(shù)學(xué)來(lái)，那些極端的自由主義者在這方面實(shí)在是誤人子弟。 但是反過(guò)來(lái)，如果不遵循層級(jí)遞進(jìn)的規(guī)律，想要躍進(jìn)，則傷害很大， 不利于 兒童思維的正常發(fā)展。

比如有關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，歷史上發(fā)展出來(lái)的各種數(shù)系，無(wú)論從起源還是發(fā)展的必要性上都是各不相干，很不統(tǒng)一的，人們可以通過(guò)某個(gè)角度，將“數(shù)”系統(tǒng)的整合到一起，比如，從運(yùn)算的角度講：

自然數(shù)范圍內(nèi)，加法，乘法 ， 乘方可以無(wú)限進(jìn)行，但是減法不能無(wú)限進(jìn)行，所以引入了負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)在求解方程前產(chǎn)生，是有其意義的，學(xué)習(xí)太早 會(huì) 擾亂孩子的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的發(fā)展。但是在正負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，除法不能無(wú)限進(jìn)行，因此引入了分?jǐn)?shù)，從離散量進(jìn)入了連續(xù)量的范疇思考問題。在正負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，開方不可以無(wú)限進(jìn)行，因此引入了無(wú)理數(shù)及復(fù)數(shù)，這樣就進(jìn)入了 中學(xué) 數(shù)學(xué)的領(lǐng)地。

如果我們從方程求解的角度來(lái)講，又可以組織形成另外一套邏輯，讓各種數(shù)組成一個(gè)系統(tǒng)。 也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，為了能夠建立體系化的知識(shí)，我們其實(shí)需要不斷回顧，聯(lián)系，反思將知識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)的整合到一起，這個(gè)過(guò)程是充滿了“破”與“立”的動(dòng)態(tài)過(guò)程，而不是老師把知識(shí)單方面?zhèn)魇诮o孩子，這樣 的 知識(shí)是僵化的。

接下來(lái)讓我來(lái)談?wù)剶?shù)學(xué) 學(xué)習(xí) 中非常重要的三道門檻，也是用來(lái)解釋我們的教學(xué)中缺失的東西，這些門檻是否能很好的跨越，除了孩子的智力發(fā)育，其實(shí)更為重要的是成人如何引導(dǎo)，側(cè)重點(diǎn)放在哪里的問題。

第一道門檻

數(shù)的概念與運(yùn)算符號(hào)

這是最最基礎(chǔ)的，但也是最容易被成人忽略的，比如關(guān)于數(shù)的概念，小學(xué)生幾乎沒有花多少時(shí)間學(xué)習(xí)，可能學(xué)校默認(rèn)這么簡(jiǎn)單的概念，應(yīng)該在學(xué)齡前就教完了，所以課本也就是象征性講一講，關(guān)于數(shù)的構(gòu)成，擴(kuò)大是如何銜接發(fā)生的 是 相當(dāng)?shù)牧闵⒑筒幌到y(tǒng)。

雖然大家口頭上都一直在說(shuō)“十進(jìn)制”，但是兒童對(duì)于“滿十進(jìn)一”如何發(fā)生，以及如何應(yīng)用到多方面上（比如元角分）顯得力不從心， 而 數(shù)的構(gòu)成方面的內(nèi)容了，成人需要利用圖形結(jié)構(gòu)來(lái)為孩子創(chuàng)建心理意象，理解 數(shù)構(gòu)成中的層級(jí)結(jié)構(gòu) 。

接下來(lái) 詳細(xì)講述的是有關(guān)于運(yùn)算符號(hào)。 所有計(jì)算的問題，歸根結(jié)底是孩子沒有掌握符號(hào)的邏輯，也就是運(yùn)算法則。

以小學(xué)生的加減法運(yùn)算為例，從學(xué)習(xí)加法開始，強(qiáng)調(diào)用遞等式，通過(guò)展開計(jì)算步驟，你才能全面的讓孩子掌握“?”“?”的意義，以及加法的運(yùn)算法則。

一年級(jí) 、 二年級(jí)不教孩子遞等式，不允許孩子運(yùn)用結(jié)合律交換律，必須按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，到了三年級(jí)大數(shù)運(yùn)算，開始出現(xiàn)各種奇奇怪怪的計(jì)算錯(cuò)誤， 這是教材里面的失誤 ？

教改的目的是為了減少學(xué)生錯(cuò)誤， 需要 思考一下教孩子計(jì)算策略本身的過(guò)程 是否 合理，低年級(jí)不教計(jì)算策略，不寫計(jì)算過(guò)程， 本身就是錯(cuò)誤的。

而 想一下跳過(guò)幾個(gè)階段，因懶惰或生病缺席而未學(xué)應(yīng)掌握的定理、法則，就直接去學(xué)后面的內(nèi)容，則無(wú)論多么聰明的人都絕不可能學(xué)好。

要進(jìn)行大數(shù)運(yùn)算，必然會(huì)用到加減法的運(yùn)算法則，法則體現(xiàn)在哪里？自然是運(yùn)算過(guò)程中，而不是單單一個(gè)結(jié)果。 如果簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算你還能口算，復(fù)雜的呢？多步混合運(yùn)算呢？心頭只要對(duì)加減法運(yùn)算符號(hào)略有一絲不懂，就可能引發(fā)一系列錯(cuò)誤，尤其在 去添 括號(hào)出現(xiàn)后。

53-20

=33+20-20

=33+（20-20）

=33

按照上面圖式的邏輯，把遞等式寫出來(lái)，如此簡(jiǎn)單、清晰、明了的遞等式步驟，為何不能教孩子呢？

由于低年級(jí)這道門檻沒有過(guò)好，因此很多孩子沒有掌握運(yùn)算符號(hào)這一符號(hào)邏輯，這個(gè)基礎(chǔ)不扎實(shí)，那么在出現(xiàn)乘除法，以及加減乘除混合運(yùn)算后，就會(huì)亂了手腳。

這個(gè)時(shí)候，成人是通過(guò)加大計(jì)算量，來(lái)強(qiáng)化固化孩子對(duì)運(yùn)算步驟的記憶，而不是理解性記憶 ， 這就會(huì)直接導(dǎo)致孩子對(duì)于運(yùn)算的結(jié)構(gòu)原理認(rèn)識(shí)不足，難以靈活運(yùn)用到應(yīng)用題解題中。諸如帶余數(shù)除法：

可以拓展到任何兩個(gè)自然數(shù)A與B之間的關(guān)系（B不為0）：A=nB+m

除法可以看成是這種帶余數(shù)除法的特殊情況（余數(shù)m=0）

帶余數(shù)除法用加乘結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，具有很重要的意義，在帶余數(shù)除法相關(guān)的應(yīng)用題里也是相當(dāng)重要的，許多孩子并沒有從乘除互為逆運(yùn)算中，取得對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的理解，因此始終無(wú)法突破一些關(guān)卡。

如果說(shuō)第一道門檻，重點(diǎn)在于讓兒童在開始學(xué)習(xí)加減法的開始就要通過(guò)遞等式來(lái)掌握運(yùn)算法則（包括后面乘除法學(xué)習(xí)），那么第二道門檻是兒童需要學(xué)會(huì)從文字題中看到一般化的結(jié)構(gòu)，掌握某種模式規(guī)律。

第二道門檻

對(duì)象、關(guān)系、結(jié)構(gòu)的分析

低年級(jí)的文字題是較為簡(jiǎn)單的一步兩步運(yùn)算，對(duì)象也只是一個(gè)兩個(gè)，關(guān)系也比較簡(jiǎn)單，不是變化就是比較。

到了中高年級(jí)，文字題的情景越加豐富了，很多人覺得孩子閱讀理解不行，所以讀不懂題目，實(shí)則是缺乏數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練，沒有從數(shù)學(xué)角度掌握分析問題的竅門。

雖然文字題的情景相當(dāng)豐富，但是我們依然可以歸類，并且通過(guò)一定的訓(xùn)練讓兒童看到其中一般化的傾向。

一般化的意思就是，我們掌握了某種模式，可以推而廣之到所有相關(guān)的題目中，而不必局限于題目講的是水果店的事，還是工程零件的事，是植樹的情景還是車站的問題，在模式上都是相似的。

我們要孩子掌握的就是這種一般化的能力。其關(guān)鍵就是三個(gè)參數(shù)：

第一是對(duì)象： 這道題目中研究的是一個(gè)對(duì)象的問題，還是兩個(gè)對(duì)象的問題，還是三個(gè)對(duì)象的問題。一個(gè)對(duì)象的問題通常都是有變化的問題，開始怎么樣，后來(lái)怎么樣，過(guò)程是怎么變化的。兩個(gè)對(duì)象之間的問題可能是有相互變化的，A給了B多少，整體變化還是不變，或者最為常見的是兩個(gè)對(duì)象之間存在倍數(shù)關(guān)系，或者我們稱為某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以應(yīng)用乘除法結(jié)構(gòu)去理解。三個(gè)對(duì)象之間或者多個(gè)對(duì)象之間，也是同樣的道理。

第二是關(guān)系： 有了對(duì)象，自然考慮關(guān)系，這個(gè)關(guān)系很好理解，一種關(guān)系是自己與自己的關(guān)系，時(shí)間上的變化，一種關(guān)系是相互比較的關(guān)系。簡(jiǎn)單的題目，只存在一種關(guān)系，復(fù)雜的題目就有多種關(guān)系。這也與對(duì)象有幾個(gè)相關(guān)。小學(xué)里頭最為重要的關(guān)系就是整體部分關(guān)系了，拿到題目，首先就看整體部分是怎樣的。

第三是結(jié)構(gòu)： 接著分析完關(guān)系，就要把結(jié)構(gòu)清晰的表示出來(lái)，結(jié)構(gòu)是關(guān)系的細(xì)化。整體部分關(guān)系到底是加減法的結(jié)構(gòu)，還是乘除法的結(jié)構(gòu)？是單一結(jié)構(gòu)還是復(fù)合結(jié)構(gòu)呢？比如加乘結(jié)構(gòu)就是一種復(fù)合結(jié)構(gòu)，一個(gè)整體，去掉了一部分，也就是有加減法結(jié)構(gòu)，剩下這部分里頭是“幾個(gè)幾”的乘法結(jié)構(gòu)，因此這個(gè)復(fù)合結(jié)構(gòu)里就包含了加減法和乘除法。

有關(guān)于對(duì)象、關(guān)系、結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練是很長(zhǎng)期。 但總體上原則就是這樣的，先從單一的對(duì)象入手，簡(jiǎn)單的關(guān)系結(jié)構(gòu)掌握了如何分析，再進(jìn)入復(fù)雜的，而不是簡(jiǎn)單的沒有進(jìn)行，到了復(fù)雜的問題上再去分析對(duì)象關(guān)系結(jié)構(gòu)。

分析方法是一種思路，一種思考問題的方式，是需要通過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間保持一致性地去訓(xùn)練才會(huì)有效的。

它符合數(shù)學(xué)的抽象性發(fā)展，符合我們需要培養(yǎng)兒童抽象思維能力的教育目標(biāo)。通過(guò)這樣的方法，我們可以讓兒童透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，不斷讓他們能夠聚焦到數(shù)學(xué)關(guān)系的底層邏輯上。

不應(yīng)該浪費(fèi)時(shí)間去學(xué)習(xí)一套僅用于當(dāng)前階段的方法，應(yīng)該學(xué)習(xí)的是具有長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展的思想方法，是有益于他們進(jìn)入初中高中的學(xué)習(xí)方法。

在這個(gè)過(guò)程中，我們要考慮兒童的認(rèn)知水平，在不同年齡階段提供不同的形式作為輔助，比如小學(xué)階段，就應(yīng)當(dāng)提供圖形圖式上的輔助，來(lái)幫助他們把抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系可視化。

但是，圖式并不是終極手段，不要把學(xué)習(xí)圖式作為一種目標(biāo)，這不是目標(biāo)，這只是工具，即然是工具，我們不同階段就有不同的使用方法，依賴性也不同。

第三道門檻

圖式應(yīng)用的進(jìn)化

低年級(jí)可以多運(yùn)用圖式，但是隨著抽象思維水平提升，圖式本身也會(huì)變得更為抽象，甚至到了高年級(jí)，我們更應(yīng)當(dāng)讓兒童把圖式內(nèi)化為結(jié)構(gòu)關(guān)系，根據(jù)對(duì)運(yùn)算法則的理解來(lái)推導(dǎo)運(yùn)算。

比如，乘法相關(guān)的圖式，在最早期，我們可能用實(shí)物堆砌排列，畫點(diǎn)陣圖，到了后來(lái)學(xué)習(xí)了倍數(shù)，從一個(gè)對(duì)象的研究，變成對(duì)兩個(gè)對(duì)象的關(guān)系進(jìn)行研究，我們會(huì)大量運(yùn)用對(duì)應(yīng)圖式，到了高年級(jí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系也進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為比例關(guān)系，圖式也相應(yīng)變成了圖表式的。

第三道門檻，是依托于前兩道門檻的，也就是說(shuō)，如果前面兩道門檻沒有跨越，那么第三道門檻也不能順利跨越。對(duì)圖式的理解和應(yīng)用能否進(jìn)化，取決于兒童符號(hào)邏輯掌握的如何，取決于孩子是否能夠看懂關(guān)系結(jié)構(gòu)。

在掌握運(yùn)算邏輯的基礎(chǔ)上，就不要繼續(xù)展開 文字 語(yǔ)言的論述，轉(zhuǎn)而應(yīng)當(dāng)使用符號(hào) 語(yǔ)言的 運(yùn)算來(lái)推導(dǎo)，這才是數(shù)學(xué)訓(xùn)練，這種方式適合高年級(jí)學(xué)生。