轉(zhuǎn)載：中國奧數(shù)第一人：史上最全數(shù)學疑惑與解答！

文 | 孫路弘

最近，我們收集了一次“孩子在數(shù)學學習路上的那些疑惑事兒”的問題征集。

果然是不征不知道，一征嚇一跳！原來大家竟有這么多的疑惑！

于是乎，我們整理出來了最具代表性的11個家長困惑，并且專門為大家請來“中國奧數(shù)第一人”孫路弘老師來針對這些問題為大家逐一解答。

話不多說，我們開始吧！

問：12 歲以下的孩子

對抽象概念掌握的程度一樣嗎？

答：程度不同。

數(shù)學學習所涉及的關鍵就是抽象概念。比如，“兩個數(shù)相加”這個說法，孩子都能懂，而說“兩個數(shù)的和”，一些孩子就不懂了。

“兩個數(shù)的和”就是“兩個數(shù)相加”的抽象說法。任意數(shù)的和，就更抽象了。

甲乙兩地相距 20千米，這句話中，甲、乙就是抽象詞匯。抽象詞匯需要思維的加工，要能夠把抽象詞匯的意思變成另一個具體的意思，如北京市西城區(qū)到朝陽區(qū)有20千米。這就是抽象思維具象化的一種表現(xiàn)。

抽象思維有三個表現(xiàn)：

●第一，能夠?qū)⒕唧w的事物用概括的方式表現(xiàn)出來。

●第二，能夠?qū)Ω爬ǖ氖虑楹驼f法進行組合、變化，并操作。

●第三，能夠?qū)⒊橄蟮氖挛镉镁唧w的例子進行解釋。

有的孩子9歲就能表現(xiàn)出對抽象詞匯的理解能力，有的孩子要到15歲才有可能表現(xiàn)出抽象化加工的痕跡。對抽象概念的掌握確實能夠說明一個人未來的思維表現(xiàn)水平。

比如，抽象能力較強，理解事物的深度也就超越多數(shù)人；抽象能力較弱，很多需要腦力勞動的工作就難以勝任。

抽象能力可以說明一個人的智力發(fā)展情況。

但要區(qū)分的是，不同的孩子有不同的發(fā)展節(jié)奏。有些9歲就具備很強抽象能力的孩子，到了15歲就開始出現(xiàn)退化的痕跡，這種情況是常見的。

當孩子表現(xiàn)出抽象能力的時候，要區(qū)分的是，這種能力是依靠記憶力表現(xiàn)出來的，還是依靠理解力表現(xiàn)出來的。

對父母而言，實際而具體的啟發(fā)意義在于，不能強求自己的孩子與別的孩子發(fā)展表現(xiàn)一樣。自然情況下的發(fā)展，才是每個孩子自身適應性最佳的節(jié)奏。

女孩通常在三四歲就能夠表現(xiàn)出對大量詞語的使用能力，而實際上，那僅僅是模仿而已，這種模仿是依靠記憶力來實現(xiàn)的。這種情況到了八九歲，表現(xiàn)出來的就是好像懂得很多，所用的詞匯中抽象詞匯較多，其實這并不能說明就是聰明，或者智商水平高，這僅僅是記憶力的一種表現(xiàn)。

男孩的發(fā)育節(jié)奏與女孩完全不同。

不理解的時候，他們表現(xiàn)出來的就是不會，難以使用記憶力。無論是做題還是寫作文，男孩的表現(xiàn)都要遲鈍一些。實際上，這樣的孩子到了12歲左右，理解力便開始成熟，思維也開始發(fā)力。到了15歲，他們學業(yè)上的表現(xiàn)就普遍開始超越女孩，依靠的便是理解力。

這時，多數(shù)女孩還在依靠自己的記憶力學習，越來越吃力。

這就是數(shù)學的一個功效，能夠輔助孩子形成自己的思維能力，尤其是抽象思維能力。孩子形成抽象思維能力的節(jié)奏不同、階段不同、表現(xiàn)不同，這些都需要父母和老師識別出來，并針對孩子階段性的表現(xiàn)以及階段性發(fā)展的特點進行輔導。

問：計算快、準確性高

的孩子數(shù)學水平就高嗎？

答：不一定，多數(shù)情況下不高。

有一個非常普遍的情況是，多數(shù)父母和老師都要求孩子計算快、準確性高。孩子的突出表現(xiàn)如果與老師和父母所施加的這種壓力有密切的關系，那么這個孩子的數(shù)學水平實際上就已經(jīng)開始出現(xiàn)延緩發(fā)展的苗頭了。

15歲以下是人的認識水平逐漸形成的關鍵時期，這是由大腦的發(fā)育、發(fā)展過程決定的。

大腦在發(fā)育過程中最擅長的是接受新生事物，新的做法、新的形式、新發(fā)生的事情，一切都是新的。大腦在成熟后，其活動才更多的是以重復為核心，通過做重復的事情提高效率，這都是15歲以后的事情。

如果在12歲以前，也就是小學階段，甚至是幼兒園階段，大人要求孩子背誦和熟練處理數(shù)字計算，這些動作都不是新的，而是機械化的重復行為，那么孩子的大腦就開始懈怠，并縮小腦神經(jīng)擴展的力度，不再高速發(fā)育并覆蓋全腦，而是局限在一個區(qū)域中，不斷重復和加深。

15歲以后，當需要大腦更多地加工知識、處理信息、解決問題的時候，腦力就不夠了。一個主要原因就是過早訓練了大腦效率，從而約束了大腦區(qū)域擴張的發(fā)展。
 

所以，計算快、準確性高的孩子數(shù)學考試成績好，數(shù)學能力卻弱，因而實際水平多數(shù)是不好的。每個階段，孩子的智力都有這個階段要發(fā)展的項目，如果將腦力用于發(fā)展一個5年后才需要發(fā)展的內(nèi)容，就錯過了那個階段原本應該發(fā)展的部分。

9歲以前，應該重點發(fā)育的腦力是數(shù)感、空間感、樂感、協(xié)調(diào)感，讓大腦能夠全面發(fā)育，對身體的各個部分進行控制，這是智力的一個核心基礎，在控制的過程中，從反饋中形成對世界的認識。

數(shù)學在智力發(fā)展過程中所扮演的角色就是激發(fā)大腦熟悉數(shù)字、熟悉規(guī)律、熟悉關聯(lián)、熟悉因果……通過數(shù)數(shù)，通過數(shù)列，通過加減乘除的運算，通過各種與生活相結合的數(shù)學運用，包括路上的時間、書包的重量等，通過各種深入的結合，推動大腦皮層的活躍。

問：不是每個孩子

都適合學習數(shù)學嗎？

答：對！不是每個孩子都適合從事數(shù)學工作，不是每個孩子都對數(shù)學敏感，不是每個孩子都必須要喜歡數(shù)學。不過，每個孩子都應該學習數(shù)學。

“適合”這個詞包括三種情況：

●對于所接受的內(nèi)容，能夠掌握75% 以上。

●對于所需的時間，在大腦開始出現(xiàn)厭煩情緒前，能夠掌握到75%。

●平時在沒有提示的情況下，還能夠主動想到一個內(nèi)容。

對于數(shù)學，如果出現(xiàn)了以上三種情況，這個孩子就是適合的。如果以上三種情況都沒有出現(xiàn)過，就是不適合。

適合與不適合是一個培養(yǎng)的過程。

就算是不喜歡數(shù)學的孩子，如果遇到一個老師，這個老師的表現(xiàn)和言談舉止一下子就能讓孩子喜歡，他就會開始熟悉數(shù)學、習慣數(shù)學，并出現(xiàn)以上三種情況中的第一種，接著就是第二種，然后出現(xiàn)第三種。

三種情況都出現(xiàn)后，就會形成正向循環(huán)，孩子的數(shù)學也就開始有感覺了，有了進步，不再害怕，不再擔心，不再感到陌生，他漸漸地也就開始變得適合學習數(shù)學了。

問：記憶力好

的孩子容易學好數(shù)學嗎？

答：記憶力有兩種：第一種，即時記憶力；第二種，延續(xù)記憶力。

孩子看到老師在黑板上演示一道題后，再做一道類似題目時，能夠照貓畫虎，大概的樣子非常像老師在黑板上演示出來的內(nèi)容，這就是即時記憶力的表現(xiàn)。 

背誦九九乘法表，這是即時記憶力的強化與深入，是大腦局部神經(jīng)元回路的深化過程，這個過程如果是對21歲以上的人來說，是非常有效的。但對15歲以下的人來說，這個回路的活動卻是以損失神經(jīng)元擴展活動為代價的。

如果孩子到了初一，還能夠立刻計算出一個長方形的面積，使用了長方形面積公式，那么，這個長方形面積計算公式就是延續(xù)記憶力的結果。

學好數(shù)學需要的是延續(xù)記憶力，不是即時記憶力。

即時記憶力主要用于身體動作的模仿和短期任務指令的執(zhí)行。延續(xù)記憶力的基礎是理解力。數(shù)學需要理解力，理解力也能夠通過學習數(shù)學得到培養(yǎng)。

問：孩子對數(shù)學概念的理解，

要么就是懂了，要么就是沒懂，對嗎？

答：對。

比如數(shù)位，這是一個概念，懂了，就知道到十要進一位，不夠就借一位。高位代表的是多少，給0排隊在后面。位置不同，代表的量數(shù)不同。這就是理解了。

很多學生，貌似會做進位、借位、錯位、定位的題目，實際上依靠的都是記憶力，即時記憶力，然后變成一種習慣下意識。這不是理解。他們看起來會做題，也能夠做對，但實際上是“暈”的狀態(tài)。含糊著駕駛，等道路更加曲折、有更多坎坷的時候，就散架了。

一些學生到了小學五六年級時開始感到吃力，就是這個原因。

到了初中，跟不上的學生越來越多，隨著知識量的增加，信息量的增加，他們積累了越來越多不懂的概念，模糊的、含糊的概念糾纏在一起，錯題就越來越多，受到的打擊就越來越大，自信就開始降低，最后索性認輸了。

問：速算好的孩子一定數(shù)學好嗎？

答：不一定。多數(shù)情況不好。

數(shù)學好要分三種情況來看：

●第一種，是數(shù)學考試成績好，還是數(shù)學思維好；

●第二種，是小學時好，還是中學時好；

●第三種，是已知的好，還是未知的好。

第一種：數(shù)學考試成績好，完全不等于數(shù)學思維好?？荚嚋y試的是學生對老師所教知識的掌握情況，很多情況下考試題目不能體現(xiàn)數(shù)學的思維活動。

第二種：很多學生上小學時數(shù)學考試分數(shù)不錯，到了初中就開始下滑，高中聽課就跟不上了，學過的數(shù)學知識也就漸漸遺忘了，從此也不再接觸數(shù)學了。

第三種：老師教過的內(nèi)容，就是已知內(nèi)容，掌握得不錯，那是記憶力好。對于未知的事物、沒有學過的內(nèi)容，自己完全沒有能力學習，當然也就無從掌握，更談不上數(shù)學思維能力了。

以上三種都是對一個學生數(shù)學好壞的區(qū)分，區(qū)分本身就是一種重要的數(shù)學思維。

問：解題能力強

的孩子數(shù)學能力一定好嗎？

答：不一定。有好的情況，也有不好的情況。

擁有數(shù)學能力的最終目的不是解題。解題僅僅是將數(shù)學思維能力中的一部分使用出來的表現(xiàn)。數(shù)學能力還有一個用途就是提出問題。

遇到日常生活中的各種情況，能夠形成問題并描述出來，構建出已知部分以及希望解決的未知部分。

這個提問的能力，是數(shù)學思維最終要培養(yǎng)的能力。僅僅會解題，只是思維的一個階段，再高一個級別的階段，就是提出完整的問題。

也就是說，如果具備提問的能力，能夠?qū)⑸钪杏龅降氖虑樽兂梢粋€問題，然后嘗試用數(shù)學的方式來解決這個問題，這就是數(shù)學能力較好的完整表現(xiàn)。

問：提問多

的孩子數(shù)學水平好嗎？

答：僅僅從提問多，不能判斷孩子的數(shù)學水平。

提問多，已經(jīng)表明這個孩子能夠?qū)⒆约河^察到的事情以及感受到的事情變成一個問題提出來，說明他具備了數(shù)學所要培養(yǎng)的最終能力的初級表現(xiàn)形式。

鼓勵孩子提問，并通過回答孩子的問題，引導孩子提出進一步的問題，再進一步的問題，不斷探索、前行，孩子的數(shù)學水平也就得到了提高。

問：多練習、多做題

就能提高數(shù)學能力嗎？

答：能夠提升部分能力，也就是做題的能力。

大量做題通常對學生有三個方面的影響：

●形成做題的慣性，并形成一套標準的流程做法。

●學習新的內(nèi)容時，不關注內(nèi)容的作用，而僅僅關注能用于做題的部分。

●思維定形為做題模式。

以上三種影響在孩子思維的發(fā)展、知識的靈活掌握，以及將其用于改善自己的生活、迎接新事物的挑戰(zhàn)上都沒有幫助。遇到類似的題目會做，題目條件稍微變化，就失去了主見，沒有了辦法。

這是應試教育的典型結果。

問：不算學校的考試、測驗等結果，

媽媽在家有什么方法能了解孩子的數(shù)學水平？

答：想了解孩子的數(shù)學水平，首先要知道數(shù)學水平是什么，肯定不是解答數(shù)學題，也不是考試成績，而是數(shù)學思維的表現(xiàn)。

數(shù)學思維在家庭生活中的表現(xiàn)，有如下三個方面：

●遇到新的沒有接觸過的事物，表現(xiàn)出充分的好奇，具體表現(xiàn)是注意力集中，維持長時間的關注，并漸漸表現(xiàn)出對事物的了解。

●能夠預測家中的事情。比如，爸爸大概幾點回家；媽媽倒水后，通常會把杯子放到哪里；看到媽媽在廚房，能夠預測晚上吃什么……

●對時間敏感，對數(shù)量敏感，對大小、遠近、快慢等基礎常識比較的概念熟悉，并會運用。

以上三點是在家中，父母可以通過觀察來了解孩子智力水平的途徑。數(shù)學是塑造智力發(fā)展的，智力發(fā)展的目的是改善自己的生活，而具體的入手點就是預判事情，預備自己的情況，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運用規(guī)律，達到自己的目的。

問：小學奧數(shù)學習對孩子有好處嗎？

我的孩子適合參加奧數(shù)學習嗎？

答：對有的孩子有幫助，對有的孩子沒有幫助。

不是所有的孩子都適合學習奧數(shù)，大約98%的孩子沒有必要學習奧數(shù)，而其中約95%的孩子，學習奧數(shù)沒有什么好處。

好處是一種比較而言的說法，如果父母在意升學，那么借助奧數(shù)成績就是一個具體的目的，通過奧數(shù)學習，如果能夠達到這個目的，就去學吧。

不過，在達到入學目的后，學習奧數(shù)的消極危害并不會輕易消除，而且會持續(xù)影響孩子以后的發(fā)展。父母在追求孩子短期目標的同時，看不到長期的發(fā)展，只顧短期有利，那么，這是父母自己的選擇。

判斷孩子是否能通過奧數(shù)的學習獲得長期的幫助，應該從三個方面來考慮：

●孩子自己是否有興趣，而不是父母誘惑出來的。

●孩子平時的注意力、理解力是否屬于中等偏上。

●孩子的學習模式是什么樣的，是那種認真做筆記的，還是那種沉思型的？是做題偏快的，還是偏慢的？

奧數(shù)是培養(yǎng)抽象思維能力的，而不是教會孩子做題技巧的，也不是給孩子示范竅門和捷徑的。訓練思維才是奧數(shù)的核心目的。

訓練思維不是通過大量做題，而是題目少，但可以做的層次多，題目簡單，卻包含多個層次的思考。比如：至少有多少人在一起，就必然會碰到有兩個人生日在同一個月的情況？

孫路弘

畢業(yè)于北京師范大學數(shù)學系，曾任北京師范大學附屬實驗中學數(shù)學老師。自稱腦力工程師，擅長調(diào)整智力結構、塑造思維形態(tài)，從心理學、腦神經(jīng)科學入手，解讀孩子成長過程中的心理、大腦和認知變化。曾翻譯圖書《孩子天生會數(shù)學》，著有《媽媽教的數(shù)學》《爸爸教的數(shù)學》。