2013
之前看了很多數(shù)學(xué)啟蒙書，結(jié)合實踐時總覺得在根上沒有力量。那種感覺就是你很認同，仿佛找到了知己，但是別人的還是別人的，你在只能照搬別人的方法，不能生發(fā)自如。這種模仿出來的方法，效果不會長久，因為只知道表面的道理，就很難隨機應(yīng)變，但是每個家庭的環(huán)境背景是不同的，孩子是不同的，媽也是不同的。孩子很快就會厭倦，因為他沒有感受到來自你身上的光彩。
上周讀了這本書，感覺找到了！這篇讀書筆記，送給和我有一樣困惑的家長和老師。希望可以給你一點啟發(fā)，找到在數(shù)學(xué)啟蒙的世界中自由馳騁的感覺。試想當(dāng)你可以從生活中隨處生發(fā)出數(shù)學(xué)的美，并且可以根據(jù)孩子的狀態(tài)和程度，自如創(chuàng)造和深入時，那會是一種多么暢快的感覺。這樣你呈現(xiàn)給孩子的數(shù)學(xué)才是真正煥發(fā)生機的數(shù)學(xué)，才是有效的和學(xué)校教育互補的數(shù)學(xué)。
所有探究數(shù)學(xué)教育的書，都會涉及到一個問題"到底什么是數(shù)學(xué)？學(xué)數(shù)學(xué)到底學(xué)的是什么？”我也是尋著這個問題一路追到了這本書。書中用了一個詞，把數(shù)學(xué)和教育融合在了一個頻道，也讓我把很多數(shù)學(xué)和科學(xué)教育的認知片段，連在了一起。這個詞就是“成長式思維”。
成長式思維
所有學(xué)科的啟蒙，都是建立在情感的基石上再去延展的。當(dāng)我們說“我是理科學(xué)渣“，”數(shù)學(xué)太高深“，”男孩更有數(shù)學(xué)天賦”時，都是源于集體意識的焦慮，而忽視了成長式思維，把自己固定在了一個不可變，也不接受不確定性的位置上。
01 大腦是活的
我們的大腦每時每刻都在生長和變化。在英國倫敦有一群超級出租車司機，他們叫“Black Taxi"。要想成為他們中的一員，需要學(xué)習(xí)2-3年，熟記25,000條大街和20,000個地標(biāo)性建筑。最后要參加一個名為“The Knowledge”的測試，據(jù)說是世界上要求最苛刻的測試之一，每個學(xué)員一般要經(jīng)過12次考試才能通過。
科學(xué)家對他們的大腦進行了檢測，發(fā)現(xiàn)在經(jīng)過這些特殊學(xué)習(xí)之后，負責(zé)記憶和空間信息的海馬體出現(xiàn)了顯著的生長。不過他們退休后，海馬體又會萎縮回來。相比之下，只需要記住固定路線的公交車司機，卻并沒有這樣的變化。這說明只要給與充分的環(huán)境，我們大腦的可塑性是驚人的。
其實每個人都有這樣的潛力，因為這就是大腦的工作方式，它每時每刻都在產(chǎn)生新的神經(jīng)元連接。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣，無論擁有怎樣過往的孩子，他們需要正確認識大腦的這種生長方式給與了每個人同樣的潛力和可能，掃除自己對數(shù)學(xué)的情感障礙，建立出發(fā)的信心。
02 學(xué)習(xí)就是必須犯錯
老師們會異口同聲地說：“沒錯，當(dāng)改正了錯誤并最終把問題解決時，我們的大腦就成長了?！?/p>
但科學(xué)家卻說，當(dāng)一個人在犯錯誤時大腦電流強度要比得到正確答案時大很多。也就是說，A同學(xué)這道題做對了，而B同學(xué)做錯了，結(jié)果是B同學(xué)得到了更多大腦成長的機會。
不僅如此，科學(xué)家還說：如果B同學(xué)不僅答錯了，還為此而感到高興，知道犯錯是幫助成長的好事，那他的腦電流就比其他抵觸錯誤的人強度更大。還有一個買一贈一的好處，對錯誤有好感的人，大腦對錯誤的察覺就會更敏感，回過頭來改正錯誤的概率也更大。當(dāng)然這里的錯誤是指在認知上沒有達到匹配而導(dǎo)致的真實錯誤，并不是故意犯錯或者不小心犯錯。
韁固式思維的人，把錯誤當(dāng)作結(jié)果，產(chǎn)生挫敗感。他們對自己的定位也容易韁固在一個位置不變；而成長式思維的人，把錯誤當(dāng)作成長的機會。在錯誤面前，他們會更加興奮。當(dāng)他們相信錯誤的價值，大腦先亮了，然后他們知道成長的機會來了。
這些不同的思維模式最初是怎么來的呢？我小的時候，家里人和老師對我的評價一直都是：“這孩子不聰明，但很努力?！卑凑f是符合上面這個圖的說法的。但結(jié)果這些話傳遞給我的信號是：我很笨，我與別人不同，我天資不夠，所以要學(xué)會這些東西我需要花更多的時間。這其實就是家長的韁固式思維傳遞出來的。
現(xiàn)在常說家長表揚孩子不能老說很棒，要說努力。但我在張口鼓勵孩子的那一瞬間，除了很棒沒別的詞，我得停一秒鐘想想說啥詞兒。我從書中領(lǐng)會了一個方法，就是肯定孩子時用動詞類，這樣就會聚焦到行為和過程。否定一個行為時，用名詞。比如“我們不做一個沒有禮貌的孩子。”這句話暗示了將孩子和這種行為分離開。
其實，如果家長本來就沒有深刻理解成長式思維，無論說什么都散發(fā)著韁固式思維的頻率。
所謂學(xué)習(xí)，不是簡單的記憶和復(fù)制，不是知識的堆砌。真正的學(xué)習(xí)是將不同觀點和想法有序聯(lián)系在一起。每個人都有自己的心智模式，他會就一件事物在自己的心智模式下推演。如果說的通，就達到了認知平衡。如果自己說不通，但是新來的信息又是合理的，就需要改變自己的心智模式來達到新的平衡。產(chǎn)生錯誤的原因就是這種矛盾和不平衡的狀態(tài)，學(xué)習(xí)就是為了找到不平衡點，進行系統(tǒng)重建，實現(xiàn)思維成長。
2018年，在我研究數(shù)學(xué)和科學(xué)啟蒙的過程中，我充分地體驗到那種三觀不斷被刷新的快感。從理論到實踐，從制作洪水視頻，到后來為建筑課、萬物運轉(zhuǎn)課備課，我不斷地挑戰(zhàn)自己的認知邊界：收集信息，建立聯(lián)系，新的疑問產(chǎn)生，再用新的角度去查找答案，不斷突破和編織更宏大的體系，發(fā)現(xiàn)更廣闊的探索空間。
這個過程的美好，是會上癮的，也就是真正的學(xué)習(xí)源動力。它會一直出現(xiàn)新的疆界，吸引你前行。經(jīng)歷了這些后，在讀到這本書時，我能非常真切的感受到：那個在犯錯試探的引導(dǎo)下，不斷升級認知的過程，也非常理解孩子們經(jīng)歷犯錯的必要性和隨之而來的成就感。
錯誤就好像是成功的一個臨界點，它是那么令人向往。所以，請對你的孩子說：“什么？你今天所有的題都做對了！太遺憾了，你錯過了今天所有的學(xué)習(xí)機會。”當(dāng)我們和孩子像尋寶一樣尋找錯誤的邊界時，好事就會接二連三的出現(xiàn)。首先，我們開始對自己有了信心。
因為我是會不斷成長的，有個詞叫”暫未獲得“。而錯誤會帶領(lǐng)我獲得。然后，我們也會這樣去看待他人，減少對他人僵化式的評價，接納與自己不同的觀點和維度。我們對事物也不會輕易下斷論，因為這個世界唯一不變的就是變化。
紐約時報的作家Peter Sims指出：“不完美是任何創(chuàng)新過程和生活中的一部分，但卻因為種種原因，我們生活在一個異常害怕失敗的文化中。這種文化過于注重完美，讓我們畏首畏尾。“
他還總結(jié)了成功人士普遍具有的習(xí)慣：
數(shù)學(xué)是什么
有了成長式思維的學(xué)習(xí)模式，再來看我們的目標(biāo)——數(shù)學(xué)，究竟是個什么鬼東西。
01 數(shù)學(xué)就是你的人設(shè)
數(shù)學(xué)不是只關(guān)于數(shù)字，它是研究世界和整體，事物之間的聯(lián)系和變化的。數(shù)學(xué)也不是客觀事實，而是人類用自己的視角和維度來觀察和解釋世界的方法。它代表的是觀點，而且每個人都可以有自己的數(shù)學(xué)觀點。
它也不是真理，就像科學(xué)界的黑科學(xué)和白科學(xué)，只是代表大多數(shù)科學(xué)家暫且接受的觀點，它會隨著人類對世界認識的變化而不斷迭代出新的思想，顛覆原來的理論。所有的理論都不代表永恒，也不代表世界本來的樣子。
上周我在參觀了中國光學(xué)科學(xué)館認識到：世界的色彩、萬物的形態(tài)只是我們?nèi)祟惪词澜绲姆绞搅T了。和我們完全不一樣的生物，他們感受的世界和我們完全不同。數(shù)學(xué)是在人類的認知范圍內(nèi)產(chǎn)生的學(xué)科。就好像漢語和英語，不光是兩種語言，而是在思維層面就不同的語言體系。或許在外星人那里，數(shù)學(xué)定理是根本不成立的東西。
要學(xué)好數(shù)學(xué)或者教好數(shù)學(xué)，首先要突破我們對數(shù)學(xué)的刻板印象和狹隘定義，同時把它從高高的金字塔上面拉下來。它就是你我認識世界的方式，不管你是否意識到。就好像看電視，只要你打開開關(guān)，你就會看。但是如果外星人來看，他們在電視里或許什么也看不到。沒錯，我是說數(shù)學(xué)就是你的人設(shè)，就如同電視是為人類的視覺模式設(shè)計的，只不過不同人喜歡看的節(jié)目不同而已。
02 數(shù)學(xué)不只是計算
關(guān)于這個問題，其實很多父母都認可數(shù)學(xué)不只是計算，它還應(yīng)該有別的更高深的東西。但是到底是什么呢？培訓(xùn)機構(gòu)對家長說是邏輯思維。邏輯思維又是啥？這就仁者見仁、智者見智了。有人說是奧數(shù)，有人說是學(xué)而思，有人說是不同解題方法。我更喜歡不看考試，而看向未來的說法。
Wolfram-Alpha公司是一個知識類計算公司。當(dāng)你在它的界面上提出一個問題，比如“叔叔的叔叔的兄弟的兒子”，它不會像谷歌一樣出現(xiàn)一堆網(wǎng)站清單而沒有一個具體答案，界面會返回一份家譜，包括血緣關(guān)系部分的數(shù)據(jù)。這個公司可算是世界上重要的數(shù)學(xué)類公司。
Wolfram-Alpha 公司的董事Conrad Wolfram曾在TED演講中提出數(shù)學(xué)工作的四個步驟：
1）提出問題
2）根據(jù)問題建立數(shù)學(xué)模型
3）計算
4）從數(shù)學(xué)模型回到問題，看問題是否得到解決。
大部分學(xué)校和機構(gòu)都會把80%的時間用在提高步驟3）計算能力上。這在過去或許受用，但如今在現(xiàn)實工作中，這部分完全交給了計算機，而公司更需要有能力依據(jù)大數(shù)據(jù)提出相關(guān)且有意義的問題、根據(jù)問題建立模型、分析和解釋數(shù)學(xué)結(jié)果的人。
那為什么學(xué)校考試和機構(gòu)會主攻計算，而其他三種能力的教學(xué)卻發(fā)展緩慢呢?除了教育和考試制度改革緩慢的限制外，我想很可能的原因是計算可以通過機械重復(fù)訓(xùn)練和記憶套路來快速提升。但是其他三項，是需要對數(shù)學(xué)有深度的理解，花慢功夫才能達到的。
03 數(shù)學(xué)不是算得快
被虐三觀了嗎？孩子的數(shù)學(xué)，全做對是遺憾，做太快也會損失慘重。三好學(xué)生的樣子，不是又快又好嗎？所以??！愛因斯坦、愛迪生和牛頓這些人小時候都不是三好學(xué)生。
“數(shù)學(xué)就是反應(yīng)快”的誤區(qū)還是源于將數(shù)學(xué)等同于計算和記憶。回到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，當(dāng)你需要深入理解事物以及它們之間的關(guān)系時，你需要切換不同的頻道，從多個維度理解問題，找到它們的相同與不同，用不同的方法解決，以各種方式和角度來呈現(xiàn)和解釋你的觀點。這個過程需要的是細致而深入的思考。
一旦把快速計算等同于數(shù)學(xué)好，多數(shù)是在調(diào)用記憶力。當(dāng)孩子們處于壓力之下，比如在規(guī)定時間內(nèi)完成一定量的題目，他們大腦的記憶區(qū)就會被堵塞，無法正常提取儲備的數(shù)學(xué)常識。這種求快和使用記憶之間的矛盾，很容易讓孩子對數(shù)學(xué)產(chǎn)生焦慮和喪失信心。那么什么才能讓孩子們對數(shù)學(xué)有好印象呢？
04 數(shù)學(xué)之美
如果世界上的事物都是彼此孤立，沒有任何聯(lián)系的，那真是很無聊。數(shù)學(xué)也是一樣，每個數(shù)字單獨看上去只是個符號，但把它們串聯(lián)起來，就可以組成無數(shù)的規(guī)律。
Arthur Benjamin在TED上的演講【The magic of Fibonacci numbers】
數(shù)學(xué)是我們?nèi)四X想出來的，但它是用來解釋世界的。它源于我們對生活對世界的疑問。當(dāng)孩子們進入這個抽象的數(shù)學(xué)世界時是帶著對生活的熱情、對世界的好奇時，他們就會看到數(shù)學(xué)的光芒。
數(shù)學(xué)教育
一個人從一門學(xué)科的低水平到高水平的進階叫“進修”，是個人奮斗的過程，但這個人首先需要有自己的目標(biāo)和動力。而讓人擁有目標(biāo)和動力就是“教育”該做的事，它需要去點燃學(xué)習(xí)的渴望和信心。
01 給直覺讓路
有一項調(diào)查訪問了70位數(shù)學(xué)家，其中有58位強調(diào)了直覺的重要性。什么是直覺呢？就是老師在講授新方法前，先問問學(xué)生有什么方法解決問題，這時學(xué)生就需要進行開放性和自由的思考，這種思考的機會幫助他們更深入地理解題目。
難道靠他們自己想出老師要講授的方法嗎？不完全是。這個深入思考的過程中，是在創(chuàng)造他們的需求。打個比方，假如說要釘一顆釘子，怎么辦？用手按的話，手疼，力量不夠。這時他的直覺可能是需要一個堅硬又產(chǎn)生力量的東西
比如用石頭砸。但是石頭塊大不方便拿，還費勁。這時你再給他一個錐子。他用了一下，發(fā)現(xiàn)這是個寶貝。這個創(chuàng)造需求的過程，不僅可以深入理解題目和條件，還會深刻看懂方法的價值所在，并對方法產(chǎn)生興趣?；蛟S再后來，他會時不時地拿出“錐子”來試試，看看這里能不能用，那里能不能用。給直覺讓路就是問題前置、創(chuàng)造需求。
02 概念式學(xué)習(xí)
刷題是個有爭議的話題。刷題刷的是什么呢？如果只是簡單的重復(fù)方法和步驟，那就只是對記憶的存儲和熟練提取過程的機械操作。這種記憶會隨著不再重復(fù)而逐漸模糊。那么刷題和重復(fù)就沒有意義嗎？所謂溫故而知新，重復(fù)是必要的，重點是要深入才能知新。
概念式學(xué)習(xí)，就是用多種方法和維度去理解概念，以及概念和概念之間的聯(lián)系。回憶我們小時候?qū)W數(shù)學(xué)，老師講概念是為了引出方法來解題。所以概念在我看來就是一段晦澀繞口的文字。但其實這種教學(xué)方式是本末倒置的。學(xué)會方法不是為了解題，而是為了理解概念。刷題也好、溫故也好，是在不同情境中使用這個概念，對它產(chǎn)生更全面的認識過程。
大腦最好的存儲形式就是理解和構(gòu)建意義，這個過程如同吃東西，我們將食物嚼碎、消化，轉(zhuǎn)化為自身所需。當(dāng)我們深入理解了一個概念，這些信息就會被組織起來，壓縮存儲。大腦只能壓縮概念，不能壓縮計算法則和方法。所以，沒有經(jīng)過概念思考、只死記硬背公式的學(xué)生無法經(jīng)歷大腦壓縮這一關(guān)鍵過程，結(jié)果就不會靈活運用。
William Thurston是一位獲得菲爾茲獎的頂級數(shù)學(xué)家，他是這樣描述大腦的壓縮過程的：
數(shù)學(xué)在人的大腦中有極強的可壓縮性：當(dāng)你學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念時，你也許需要一點一點地弄懂它，也許需要從多個角度去理解它，你的思維也許會掙扎一陣子。一旦你真的弄懂了它，并且可以在你的頭腦中形成一個完整的建構(gòu)，那么壓縮過程也就完成了。一旦壓縮完成，你就可以把它存儲在大腦的一個小空間中，在你需要時你可以快速完整地調(diào)用它。數(shù)學(xué)的這個屬性也正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最愉悅的事情之一。
概念式學(xué)習(xí)是尋找聯(lián)系的過程。具體可以怎么做呢？
03 反思性問題
作者的愿望是取消所有的家庭作業(yè)，取而代之的是反思性問題式的作業(yè)。雖然對大部分學(xué)校來說，這只能是美好的愿望。但是感受一下兩者的區(qū)別吧。一種是鋪天蓋地的卷子，一種是結(jié)束一天時來一段自我反思。感覺就好像一種是圈養(yǎng)，一種野生的。哪種生存能力更強呢？
04 小組責(zé)任
數(shù)學(xué)、科學(xué)是社交性的學(xué)科，因為它代表的是一個人看世界的觀點。你要說明自己的觀點，就是說理。小組學(xué)習(xí)可以實現(xiàn)這一功能。老師會提醒每個學(xué)生保持懷疑的態(tài)度，這樣才能促使其他同學(xué)給出更完整、更有說服力的解釋。表達觀點的同時思辨他人的反饋和觀點，也是對自己觀點的完善和升級。
說服過程三個階段：
小組學(xué)習(xí)模式成功與否的關(guān)鍵是小組責(zé)任制。就是你必須對小組的全體成員負責(zé)。這樣就會讓小組內(nèi)部形成互幫互助的氛圍。
在案例中，一位來自railside高中的女孩說，一開始她不理解，覺得我為什么要幫助其他人？我只想把自己的事做完。但是在實行了小組責(zé)任后，她發(fā)現(xiàn)幫助別人，其實是在幫自己。給其他人講題，你需要跳出原有的思維模式，理解并找到對方的bug。而這個過程就是深入思考的過程。
小組玩法
05 開始之前
在開始學(xué)習(xí)之前，孩子們并不知道老師或者父母的期望是什么。老師和父母表達自己的立場非常重要?？梢灾谱龀珊筚N在墻上。
在解決問題之前，小組討論行為規(guī)范會讓小組學(xué)習(xí)更加順利?？梢灾谱饕粋€表格，討論我們喜歡和不喜歡的行為。
除了分?jǐn)?shù)，我們還能給孩子什么？
考試和分?jǐn)?shù)制誕生時，初心是幫助學(xué)生分析自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)和作為鼓勵的一種方式。但是現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的重點完全偏離，越來越變成了枷鎖，禁錮了學(xué)生自我評價的定位，不僅挫傷低分學(xué)生的自信，也會誤導(dǎo)高分學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識。其實，老師給學(xué)生最好的禮物是評價。
什么樣的評價？對該學(xué)生學(xué)習(xí)情況和方向的思考與感悟。分?jǐn)?shù)是冰冷的，關(guān)注和指引是溫暖的。我現(xiàn)在就還記得小學(xué)語文老師每次都會在作文后寫上幾句話。雖然具體說的話我不記得了，但是每次我都會絞盡腦汁寫好作文，期盼著看到那一行字。
要讓評價起到積極的作用，那也是很有學(xué)問的：
01 評價標(biāo)準(zhǔn)多維度，注重學(xué)習(xí)能力
作者做了一項調(diào)查，問學(xué)生們：”你認為怎樣做才能在數(shù)學(xué)上獲得成功？“
結(jié)果讓人震驚，97%來自傳統(tǒng)教學(xué)模式的學(xué)生回答：認真聽講。而在實行了教學(xué)改革的Railside高中的學(xué)生的回答卻是豐富多彩的，比如：
02 抓住時機
評價不用常常，在學(xué)生最需要指引時，抓住時機幫助最大。當(dāng)評價變成一種機械式的反饋，老師也有壓力，評價的質(zhì)量也不會高。
03 評價不是評判
評價是為了解決學(xué)生的問題，評價是服務(wù)于進一步深入學(xué)習(xí)的。它不是結(jié)點，而是讓學(xué)生看到努力的方向。
04 花式評價法
把測試和評價變成學(xué)生“展示你所學(xué)”的機會。不用為考試而準(zhǔn)備，而是展示真實的程度，讓學(xué)生有機會面對自己，并進行自我評價。
讓學(xué)生按照由簡單到難的順序回答一些問題，在自己回答不出來的那個問題上面畫一條線，這條線之后的問題，都可以看書來回答。這種做法，也是在暗示一種成長式思維模式，并幫助老師更好的把握學(xué)生的難點所在。
老師會在測試后，讓學(xué)生清楚地知道自己知道什么、不知道什么、減小差距的路徑是什么。這依然是成長式思維模式。
給出全部章節(jié)的知識點信息，讓學(xué)生隨時自評，掌握已經(jīng)學(xué)過和未來要學(xué)習(xí)的進度。
讓學(xué)生互相評價，寫出對方兩個做得好的地方，和一個有待提高的方面。
老師講完一個內(nèi)容進入下一個內(nèi)容前，讓學(xué)生用不同顏色的信號燈標(biāo)識來表示自己的理解程度。由此調(diào)整老師講課進度。
讓學(xué)生按照自己強項進行分組。先把強項一樣的分在一組，在討論中升級為專家。然后再打亂重新分組，每個組里就有不同方面的專家了。
每個小組對學(xué)習(xí)內(nèi)容制作海報，然后重新分組，成員帶著自己原來組的觀點和其他成員討論區(qū)別和相同點。
也是自我總結(jié)反思的一種，更有儀式感。
平時不愿在課堂上發(fā)言的學(xué)生，或許更接受這種和老師一對一的方式分享他們的想法。
讓學(xué)生畫出自己所學(xué)。
讓學(xué)生自己出題或者給其他人寫評價，都是更好的深入理解內(nèi)容的方式?？梢宰屗麄兯伎贾匾膯栴}，還可以發(fā)揮創(chuàng)造性。我家小樂就經(jīng)常給我和樂爸出題。這個過程確實是我了解他最近關(guān)注點和思維發(fā)展程度的一個有效渠道。
2013
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