淺談低年級和高年級奧數(shù)學習方法的區(qū)別

這個是我給“睿爸小屋”寫的一篇分享，轉(zhuǎn)過來主要是順便掙點積分。。。

00前言

群里經(jīng)常有一些家長提問，比如怎樣規(guī)劃小奧路線，奧數(shù)要學到哪個程度比較好，花大量時間在4、5星題目上是否值得，這些問題幾乎無法回答，因為不知道將來的目標是什么，現(xiàn)有的基礎(chǔ)是什么，家長提供的人力和財力能到什么程度。所以家長問的問題越空洞，水平越飄渺。

 我舉這個例子，是要說明孩子小奧學習的很多問題，（不論家長是否承認）基本都是家長的問題。這篇分享這是我為有精力和想法的家長寫的，因為很多操作都是機構(gòu)無法提供的，全篇文章只討論一個問題，就是如何讓孩子到了高年級以后，依然保持較快的進度，并且能把新老知識點貫通。

 如果你的孩子在學完知識點一段時間后容易遺忘，或者再遇到錯題還是不會，亦或3導能做，但是到4導或者5導就非常吃力，那么請耐心花十分鐘時間看完全文，相信會有不一樣的感受。

 我們先定義一下范圍，標題中的低年級指的是三、四年級導引進度、高年級指的是五、六年級導引進度，之所以用導引標準，一是因為全國各地學制（54、63）不一樣，同一個城市不同機構(gòu)的課時安排也不一樣。因為導引進度偏慢，如果對應(yīng)到機構(gòu)班型，6年制的地區(qū)低年級就是機構(gòu)二至三年級班型，高年級就是四五年級班型（不是嚴格區(qū)分）。

 沒有一年級以及學前的原因是，很多低年級課程，都是機構(gòu)為了增加收入和拉長課時，而人為設(shè)置的知識點（比如天平、火柴棒、涂油漆、空瓶換水、找規(guī)律這些無聊的內(nèi)容），學不學對后面毫無影響。也不在本文的討論范圍。

 小奧學習在四年級的時候有一個明顯的分水嶺。這是因為低年級主要考察孩子對于基礎(chǔ)知識點的理解，題目的變化也少，孩子憑感覺往前做也能得出結(jié)果；而到了高年級需要綜合多個知識點，題目非常靈活，并且環(huán)環(huán)相扣，考察的是對知識點的理解和靈活應(yīng)用上。如果低年級淺嘗輒止，那么高年級談不上靈活運用。

 接下來我們先討論一個問題，小奧的知識點依據(jù)什么來劃分的模塊，為什么有的孩子有的模塊學的很好，但是遇到了某些模塊，比如行程、幾何、數(shù)論這些做起來正確率就會直線下降，甚至在看到此類題目的時候，在心理上就會產(chǎn)生畏難、抗拒的情緒。

 01原因

 小奧知識點看似很多，但是其實只有七大模塊（劃分標準并不唯一），除了組合比較特殊（后面單說）外，其余六大模塊都是有相通之處，每個模塊的核心思想其實幾句話就能說清楚，之所以有那多的類型就是不同場景的變化而已。

 如果孩子低年級學習時候感覺知識點越學越多是非常正常的，因為遇到的一個知識點都是新的。但是如果到了高年級還有這種感受，說明孩子沒有把新老知識點聯(lián)系起來。還沒有抓住這個模塊的核心，如果能把多個問題歸結(jié)成一個問題就說明孩子開竅了。水平越高，解題時候看問題看的越通透，而不是停留在表面。

 低年級給孩子講題的時候，我一般說這道題目是哪個知識點的題目，我們?nèi)绾斡脤?yīng)的方法做出來，這個是基礎(chǔ)。到了高年級，我一般會說這個題目要從哪個角度思考，比如簡化、歸納、整體考慮、找不變量和變量、極限思想、數(shù)形結(jié)合、對稱、對應(yīng)、遞推等，這些思想不是哪個模塊特有的，幾乎所有的模塊都會用到。

 如果一個家長說小學奧數(shù)就是記套路做題，那么這個家長肯定是低年級家長或者沒學明白的高年級家長（如果能隨著年齡增長解決小奧，那么理論上所有家長都會5星題）。如果一個老師只會教學生知識點，編口訣，沒有引導和拔高，那么這就不是一個合格的老師，因為遇到?jīng)]講過的題學生將來肯定還是不會。

 于是這就涉及到一個問題，就是低年級和高年級要用不同學習方法，而方法取決不同階段的特點。3年級知識點簡單而基礎(chǔ)，有不少孩子跨級學習都沒問題，這個階段知識點還是較為獨立，比如孩子一看就知道是和差倍或者等差數(shù)列的題，那么直接就用步驟去套也能做出來。

 但從4年級開始，很多題目（特別是杯賽）就不太容易看出是哪個模塊，或者需要用到多個知識點，之前的方法就不適用了，這樣就是一些孩子從四年級開始吃力的原因。如果都不知道這道題從哪里入手，那么也絕對沒可能做出來。這就是為什么很多比賽都是填空題的原因，答案對了，過程就不會有太大的問題，也就沒必要考察。而課內(nèi)要嚴格規(guī)范步驟是因為不能有太多的滿分。

 02應(yīng)對

 那么如何解決這個問題呢，方法就是低年級打好基礎(chǔ)，高年級學習注意知識點承上啟下，邊學習邊總結(jié)。 這好像是一句廢話，但越深奧的事情往往道理越簡單，現(xiàn)在進度都拉的這么快，家長不一定有深耕慢走的從容心態(tài)。反正報了班就跟機構(gòu)走，這次沒學會反正將來還是講到這個模塊，我認為這種心態(tài)是比較危險的。

 除非是專門的知識點串講課程，一般機構(gòu)是不會花費太多的時間在舊知識點上，因為課時的限制講新知識點還可能拖堂，更別說話時間在復習上，但是，我個人認為：“復習比預習更重要”，不是說不用預習，而是說時間上如果不能兼顧，那么最好先復習舊知識點，把錯題都解決掉，比似懂非懂預習新知識點更有效果。

 在新學習每一個知識點前，把這個模塊之前學過的所有的知識點全梳理一遍，不要覺得這個時間長，如果前面學的扎實，這個梳理可能十幾分鐘就結(jié)束了，也可以做幾道題練練手，確認把這個解決后再上新的內(nèi)容。

 打通思路、做好了鋪墊以后，很多內(nèi)容再學習就會沒有那么難。如果發(fā)現(xiàn)孩子做的不好，就不要學習新的內(nèi)容，因為老的都沒解決，新的也是學的一知半解，等將來回頭學就是“夾生飯”，一旦夾生了還不如一張白紙。因為在教正確的方法之前，還要首先糾正錯誤的思想，這個更難。

 這樣也可以很好解決遺忘的問題，因為每次學習都會重復一遍，可以有效地在孩子大腦內(nèi)形成一個知識網(wǎng)，新知識相當于在這個網(wǎng)的邊緣進行了擴展，如果一開始網(wǎng)上都是漏洞，后期不停打補丁，這個網(wǎng)早晚會不堪重負。

 但是，這能力對于家長的要求有一點高，因為你自己腦海里要有這張網(wǎng)，不是科班出身，需要自己下功夫研究，在《雙減時代家長自雞奧數(shù)心得》里面，我已經(jīng)推薦了相關(guān)的老師，如果你的時間有限，那么只看王進平老師的“七大模塊”就可以了。

 這個課程是針對北京小升初的知識點串講，難度在3-4星左右，精華的地方不是題目，而是王老師對于各模塊知識點的梳理，是我們目前發(fā)現(xiàn)講的最好的（沒有之一），又因為他之前有名校初中的任教經(jīng)歷，所以對于小初知識點的銜接也有幫助。

 另外學習時候也要記筆記整理，我覺得用便利貼最方便，首先，因為聽的課太多，本來記了這個老師的想法，也許聽了另外一個老師后發(fā)現(xiàn)方法也很好，那么就可以把之前的替換掉，或者貼在旁邊對比。自己有想法也可以補充在旁邊，便利貼可以方便的移動和排版。另外，家長也有自己的工作和社交，碎片時間內(nèi)的靈感也可以隨手寫下來，等找時間集中整理。家長整理得越多，那么發(fā)現(xiàn)知識點通用性就更多，反而給孩子講的更少。能用越短的話說清楚一個知識點，水平越高。

 這個標準同樣適用于老師，名師是不會受限于講義的，基本上來就解題的理念，通用的方法過的很快，但是在重要的地方講的比較細。等到做題的時候只講共性和特性，其他一帶而過。聽了這種老師的課程，直接會了一類題，而不是幾道題。

 那么這個講義上要整理哪些內(nèi)容呢，我覺得主要包括以下幾個方面：首先是家長先記錄上和以前知識點的聯(lián)系，記錄關(guān)鍵點即可。其次記錄這一講的核心思想，一般不會超過一頁便利貼。其次要反思自己的做題過程是如何思考的，遇到哪些障礙。再根據(jù)對孩子的了解預測出她在思考過程中會遇到哪些障礙，怎樣才會使學生更容易接受。

 我們要給他提供足夠細化的內(nèi)容，但是這個度的拿捏需要把握，不是說你掰開了揉碎了給孩子灌進去就可以，而是要讓孩子一步步去探索，孩子發(fā)現(xiàn)夠不著了，那么家長放一兩塊磚墊一下，孩子就跨上去了。難度到了一定程度后，是不會有人有“興趣”去做題的（要不是為了教孩子我寧愿把時間放在刷B站）合理的梯度就是讓孩子更能夠接受而已。

 總之就是，既要從老師的角度去講解題目，還要以孩子角度去分析習題，更要以命題者的角度去拆解題目。我在《四年級高思導引學習心得》中提到，復雜的問題簡單化、簡單的問題復雜化，在小低年級更多是簡單問題復雜化，而在小高更多的是復雜問題簡單化。

 04模塊

 這部分內(nèi)容主要是每個模塊的核心思想和解題思路，以及在低年級和高年級的考察側(cè)重點。屬于我自己聽課的感受，因為我是一個普通家長，所以和專業(yè)人士的有差別，但是實際執(zhí)行下來感覺至少我家孩子是聽得懂，所以和大家分享一下：

 計算模塊：小奧公認難度最低的，考試中都是送分題，小奧除了單獨的計算題外，其他模塊對計算要求其實很低，雖然巧算技巧比較重要，但是有理數(shù)硬算的基本功更重要。巧算的核心思想就是“抵消”和“湊整”。平方表建議背一下，大九九乘法表建議背，對于將來的數(shù)論有好處。

 應(yīng)用題模塊：低年級的重點內(nèi)容（主要考閱讀理解），與小學課內(nèi)聯(lián)系最大的模塊。雞兔同籠、年齡、和差倍分、盈虧、間隔、工程、水箱、濃度、經(jīng)濟問題這些看似復雜，但本質(zhì)上都是關(guān)于“份數(shù)”思想的問題，解題關(guān)鍵在于找到不變量（一般是和或者差），量率對應(yīng)上即可。

 算術(shù)法低年級靠畫圖，高年級靠比例。全套導引里面我就沒遇到過只能用方程的小奧應(yīng)用題，因為小奧考察的是“超?！?，而不是“超前”，講究的的是一個技巧性。幾乎所有的應(yīng)用題都有多種算術(shù)解法，但多重解法本質(zhì)上就是一種解法；幾乎所有的應(yīng)用題都能用方程做，但我認為只是列方程的統(tǒng)一，而不是思維的統(tǒng)一。

 關(guān)于算術(shù)法和方程解題方法一直有爭議，我只說我的一家之言，方程可以學，但是優(yōu)先算術(shù)法，因為低年級直接學習方程其實一點也不必算術(shù)法簡單，而且這個解題思路對于其他知識點是有幫助的。如果直接跳過算術(shù)法學了方程，那么大概率行程會卡住。因為方程一般很難解決復雜的行程，這個我后面會細講。

 不過，如果時間有限，或者孩子實在理解不了，也不必花太多時間在算術(shù)解法上，因為這部分內(nèi)容是低年級的重點而非高年級的重點，想鍛煉思維還有其他題目可以練。很多行程和工程問題都能用雞兔同籠方法做，但是一般也不這么做，因為沒必要。

 行程模塊：行程是一個非常有意思的模塊，本質(zhì)上是應(yīng)用題，核心思路就是“路程=速度*時間”一個公式，但是變化太多了，速度變化就是流水行船和變速問題，時間變化就是間隔發(fā)車和走走停停，路程變化的就是往返和環(huán)形跑道，此外再加上、鐘表、中途換油、轉(zhuǎn)向、往返接送這些復雜的過程，幾乎難度沒有上限。

四、五導引里面的行程模塊難度都非常高，是我們做的最差的章節(jié)之一，這里我有幾個學習心得和大家分享。

 第一、對于所有人都難，除非你將來肯定不會遇到，還是要想辦法解決。解決一個問題最好的時機就是第一次遇到的時候，如果中途放棄了，后面重新拿起來還要重新來一遍，知識點沒有積累，但是畏難情緒會更多。

第二、行程本質(zhì)上是高年級的應(yīng)同題，所以低年級的和差倍、比例的基本功要好，方程可以降維其他應(yīng)用題，但是無法降維行程。如果應(yīng)用題基礎(chǔ)不好最好去補一下，否則就算硬上也會夾生。

第三、畫圖非常重要。在時間有限的情況下，可以專門訓練畫圖而不做題。這個不是跟著感覺畫，而是說這個路程你要畫多長，和其他路線的比例關(guān)系是多少要差不多。等把圖畫明白以后，再練習做題也不晚?；旧现灰獔D會畫了，這個題已經(jīng)會做一半了。

 幾何模塊：低年級的幾何主要靠割補和平移，這個基本功一定要打好，一半模型和等高模型要熟練應(yīng)用，輔助線不是“靈光一現(xiàn)”，而是要做出這道題目必須要有，比如碰到一個不規(guī)則圖形必須要分割成規(guī)則圖形，亦或能構(gòu)造出平行線的方法只有1種，那么必然要連起來。高年級幾何主要是比例衍生出來的各種模型，要理解而不是背，否則實際做題中很難看出來。

 計數(shù)模塊：低年級計數(shù)的枚舉和樹形圖非常重要，因為后面的加乘原理和排列組合完全就是樹形圖的一個簡單表達形式。如果低年級枚舉不過關(guān)，高年級學的方法越多越不知道要用哪種方法，會的方法越多錯的越多。

 如果高年級的知識點不會，那么踏踏實實把枚舉和樹形圖畫一下（如果題目的數(shù)字太大可以簡化處理），然后找規(guī)律。加乘原理和樹形圖的關(guān)系一定要理解并靈活運用，切不可直接就上排列組合，也不要刷太多的題，因為有難度的計數(shù)題目都是分類討論，應(yīng)該按照什么原則分類，如何分步，如何去除掉重復的情況才能清楚。

 此外每一個題目都嘗試一下多個解法，枚舉、不同的分類方法、直接求符合條件的數(shù)量，或者總數(shù)減去不滿足的數(shù)量。前面基礎(chǔ)打得越扎實，后面起飛才越快。計數(shù)問題花1小時完全弄明白1道題，比做10道題但不知道為什么效果還好。

 組合模塊：最難的模塊之一，難就難在套路不明顯，基本上難的組合題目，你沒見過幾乎肯定不會，見過的也不一定還能做對。機構(gòu)老師也就是讓學生背題目和套路，其實組合和接下來的數(shù)論差不多，核心的內(nèi)容低年級幾乎不涉及，主要集中在高年級，說白了這兩種就是“吃天賦”，也是檢驗孩子智商最有效的途徑。

 但學習還是有方法的，基本的幾種類型肯定要熟悉原理和思路，構(gòu)造論證多做題吧，如果遇到復雜的內(nèi)容時，可以先將條件進行簡化，然后一步步推導，具體可以參考《四年級高思導引學習心得》里面組合的內(nèi)容。

 數(shù)論模塊：唯一一個只在高年級的模塊，基本知識點就是那幾個，但難度沒有上限，但是導引里面的數(shù)論題難度其實并不高，能夠熟練運用分解質(zhì)因數(shù)，余數(shù)（整除）和代數(shù)（位值）分析，基本上問題不大。如果想要更加深入就可能已經(jīng)超越了小奧的范圍，這個投入產(chǎn)出是否合適就需要家長自己衡量。