女兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路線圖及我對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題的一些思考

2歲半～3歲：邏輯思維訓(xùn)練（《邏輯狗》、《益智的游戲書》），獲得的能力：觀察能力、理解能力、推理能力

3歲～4歲：數(shù)學(xué)入門啟蒙（《階梯數(shù)學(xué)》3歲、4歲、5歲、6歲階段），獲得的能力：書寫能力、思維能力、舉一反三的能力、毅力和意志力、專注力

4歲～4歲半：夯實(shí)基礎(chǔ)（《幼兒奇跡數(shù)學(xué)》3歲～6歲三個(gè)階段），獲得的能力：思維能力、推理能力、熟練度、自信心

5歲～9歲：擴(kuò)展學(xué)習(xí)（人教版《數(shù)學(xué)》2、3、4年級），獲得的能力：自主學(xué)習(xí)能力、糾錯(cuò)能力、熟練度、擴(kuò)展能力

邏輯思維培養(yǎng)先行

在和女兒一起進(jìn)行親子閱讀的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)她對于邏輯推理、益智類的書非常感興趣?；蛟S是因?yàn)橥ㄟ^大量地閱讀故事書，讓她具備了基本的邏輯理解力，這種邏輯理解力不僅能夠讓她讀懂故事，還能讓她理解益智類書籍中所蘊(yùn)含的簡單邏輯。所以在玩的過程中，她總是能正確理解書中的題目要求，并根據(jù)自己的推理判斷，準(zhǔn)確地得出答案，還可作出合理的解釋。

這就啟發(fā)了我，是時(shí)候讓女兒將這些含有大量邏輯思維訓(xùn)練的書作為數(shù)學(xué)的入門讀物來讀了，因?yàn)槔锩娴挠螒蛟O(shè)置包含了一定的邏輯思維訓(xùn)練和一些常見的數(shù)學(xué)概念講解，最關(guān)鍵的是作者巧妙地將這些內(nèi)容設(shè)計(jì)到游戲中，不枯燥無趣，反而妙趣橫生，讓女兒非常有興趣去揣摩和思索。

女兒在玩這些游戲的過程中，不僅在鍛煉著她的邏輯思維能力，還加深了她對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的理解。書中的內(nèi)容非常符合兩歲多女兒的天性，總是會(huì)讓她小小的內(nèi)心產(chǎn)生共鳴，收獲很多意想不到的能力，如觀察能力、理解能力、推理能力、思辨能力和糾錯(cuò)能力。

這其實(shí)是一個(gè)從知覺到心理的固化過程，將可感受的東西通過理解和思考后固化到腦中，表面上看女兒只是做了一個(gè)邏輯游戲，其實(shí)她的大腦中的某幾部分區(qū)域卻產(chǎn)生了本質(zhì)的變化，完成了一個(gè)復(fù)雜的思維過程。經(jīng)過不斷的重復(fù)，這種大腦中的變化便被固化了下來。 

兩歲多的女兒特別喜歡玩的是《邏輯狗》，很快她就將第一階所有的題目都做完了，接著又一遍遍地重復(fù)玩了不知多少次，對里面的題目早已牢記于心。第一階段的內(nèi)容包含找相同、找不同、走迷宮、按物點(diǎn)數(shù)、按順序數(shù)數(shù)、區(qū)分圖形、穿衣搭配，很多游戲都與生活息息相關(guān)，所以女兒在玩的時(shí)候，不覺得有絲毫的無聊，反而一直興趣很濃厚，即使重復(fù)做了多次也不受影響。

之后我又買來了《邏輯狗》的第二階段，女兒在玩的時(shí)候速度明顯比做第一階段時(shí)快了很多，準(zhǔn)確率也更高，在玩的過程中，她也在學(xué)著將第二階段的內(nèi)容與第一階段的內(nèi)容做比較，比較出它們的難易差別，增加了哪些內(nèi)容等等。

因?yàn)橛辛俗龅谝浑A段的經(jīng)驗(yàn)，所以在做第二階段后面幾冊的時(shí)候，對于三歲多的女兒來說已經(jīng)沒有什么難度，她的興趣也在慢慢地減少。我在陪著她玩的過程中，確實(shí)也感覺到對于女兒來說，第二階段的難度比第一階段沒有增長很多，跨度也不是很明顯，對于已經(jīng)掌握了基本邏輯推理方法的女兒來說，不能很好的滿足她渴望繼續(xù)提升的需要。所以我決定再為女兒尋找新的能夠替代它的書來讀。

可見在選擇這方面的書籍的時(shí)候，難易程度顯得尤為重要，要比女兒的水平高出那么一點(diǎn)點(diǎn)最好，太難或太簡單，都會(huì)讓她失去興趣，而不能繼續(xù)堅(jiān)持。我想這點(diǎn)在學(xué)習(xí)方面應(yīng)該也是通用的，關(guān)鍵就是要把握好這個(gè)難易的度，把握得好了，學(xué)起來才會(huì)始終保持持久的熱度，從而有所收獲。

除了《邏輯狗》，女兒還長時(shí)間地反復(fù)玩過五味太郎《益智的游戲書》，也是將里面的每一頁都玩到爛熟于心。另外還輔助玩了一些走迷宮、拼圖、找不同等類似的游戲。

借助《階梯數(shù)學(xué)》入門和啟蒙

在尋覓的過程中，我發(fā)現(xiàn)了一套評價(jià)非常好的幼兒數(shù)學(xué)啟蒙書籍《階梯數(shù)學(xué)》，作者是韓國的朱慧蘭女士，這套書分為三歲、四歲、五歲和六歲不同階段，每個(gè)階段又由五個(gè)小階段組成。

在我陪女兒做這套書的過程中，可以看出作者深刻地了解兒童的心理和學(xué)習(xí)的規(guī)律，總是能夠從細(xì)微處激發(fā)孩子的興趣，啟發(fā)他們對于數(shù)學(xué)本身的思考和領(lǐng)悟。書中題目內(nèi)容的設(shè)定也是采用循序漸進(jìn)的方式，安排得非?？茖W(xué)合理，也充分考慮到幼兒的認(rèn)知能力，讓他們做起來沒有任何的畏懼感。

女兒如獲至寶一般，很快就將這套書當(dāng)成了她的新寵，著迷到能夠整天都做數(shù)學(xué)書上的題目，三歲階段五本全部做完后，又用橡皮把寫好的答案擦掉，會(huì)重新再做一遍，就這樣一遍又一遍地做。她每天早上醒來、午睡醒來第一件事就是做數(shù)學(xué)題，一直坐在小書桌前，甚至都不愿意起來吃水果，也不愿意到戶外活動(dòng)。這套書也成為真正意義上的她的第一套數(shù)學(xué)啟蒙教材。

家長長時(shí)間地與孩子進(jìn)行一對一的相處，非常有助于提升孩子的注意力，比如一起做游戲，一起讀書畫畫。所以陪著女兒一起做數(shù)學(xué)題，順帶還培養(yǎng)了她的專注力。

也就是在三歲多做《階梯數(shù)學(xué)（3歲）》的時(shí)候，女兒開始學(xué)著使用鉛筆書寫數(shù)字，從開始的不知怎樣握筆，到熟練地寫出0～9這十個(gè)數(shù)字，對于她來講是一個(gè)飛躍。當(dāng)時(shí)我就在想，學(xué)寫數(shù)字是多么枯燥的一件事啊，為什么女兒還會(huì)這么樂此不疲呢。

后來我才明白，對于我們成人來說簡單至極的事，對于三歲的女兒來說卻是個(gè)挑戰(zhàn)，就像是她當(dāng)初學(xué)著使用筷子一樣，是要在一次又一次地嘗試，掌握了書寫的要領(lǐng)后，才能夠?qū)懗鰜淼摹?/p>

顯然她在這個(gè)過程中付出了許多的努力，也從來沒有因?yàn)槟硞€(gè)小挫折或小失敗而打過退堂鼓。通過反復(fù)的書寫，女兒鍛煉了她的手部力量，手指也變得更加靈活。但最主要的是，女兒成功地體驗(yàn)到付出才會(huì)有收獲，練習(xí)才能掌握的道理，并將它們作為自己可在人前夸耀的戰(zhàn)績，又一次體會(huì)到了巨大的成就感。

后來我才知道這就是兒童心理學(xué)家常常講到的掌控感，孩子在學(xué)著掌控了一件事情時(shí)，會(huì)增加他的喜悅和進(jìn)一步的行動(dòng)，會(huì)讓他變得更加的主動(dòng)，充滿了積極情緒地去繼續(xù)探索，從而學(xué)到更多新的技能和解決問題的方法，這對于孩子的成長來說是非常有益的。

上面說到的《階梯數(shù)學(xué)》這套書的神奇之處，還在于它的確能夠啟發(fā)女兒對于數(shù)學(xué)的思考。在做數(shù)字0的練習(xí)時(shí)，書中通過反復(fù)的舉例和比較，讓女兒真正明白了0的含義，不僅如此，她還將0的含義擴(kuò)展到了生活中的很多方面。比如女兒知道0就是沒有，什么都沒擁有的意思，接著還想到?jīng)]人和她一起玩了也許也是0，什么都看不見也許也是0，頭腦中什么都沒想也許也是0，0也是可以被看作是擁有的事物，只不過擁有的數(shù)量是0而已。

女兒把抽象的概念變得具體，之后又把它們變得抽象，這些數(shù)學(xué)概念在女兒的頭腦中得到了一次完美的升華。在學(xué)到加法和減法的概念時(shí)，書中也是通過對象的逐步增加和減少的過程來幫助女兒理解的，她能夠通過練習(xí)，真正地理解加減法的含義，并完成簡單的運(yùn)算。

之后，我又為女兒買來了《階梯數(shù)學(xué)（4歲）》的五個(gè)階段，女兒又開始一階一階地做起來，到她三歲四個(gè)月的時(shí)候，就已經(jīng)做完了四歲階段五冊的全部內(nèi)容，速度之快讓我始料不及。

這樣做的結(jié)果是，她在數(shù)數(shù)時(shí)越來越熟練，點(diǎn)數(shù)基本不會(huì)出錯(cuò)，連線、走迷宮的能力增強(qiáng)，默寫十個(gè)數(shù)字全部正確，也不會(huì)再出現(xiàn)將6和9寫反的情況。還會(huì)仿照書上的內(nèi)容給我出一些數(shù)學(xué)題，然后她當(dāng)老師來給我批改。

此時(shí)她能夠?qū)⒚商厮罄淖厣?、粉紅塔、數(shù)棒等教具玩得很好了。在女兒開始做《階梯數(shù)學(xué)（3歲）》階段以前，我曾經(jīng)拿出棕色梯、粉紅塔這些蒙氏教具來給她玩，她不僅興趣不大，也不能正確拼搭好，總是會(huì)出錯(cuò)，說明她的思維能力還達(dá)不到理解這些教具的水平。

 但在她用了四個(gè)月時(shí)間完成了這套書的3歲、4歲的全部內(nèi)容后，不用我的演示和講解，就能自己獨(dú)立完成同樣的教具，而且興趣大增，會(huì)多次地重復(fù)玩，也不會(huì)覺得無聊。 

蒙氏的教具看似簡單枯燥，里面實(shí)則蘊(yùn)含了很多的數(shù)學(xué)思維，只有在掌握了這些數(shù)學(xué)思維后，才能夠正確的玩好。而它的魅力也在于，一旦孩子掌握了操作它們的方法，就會(huì)樂此不疲地玩?zhèn)€不停，因?yàn)檫@些教具在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，當(dāng)孩子們準(zhǔn)備好時(shí)，就能夠和孩子完成一次完美的契合，讓他們體會(huì)到操作的樂趣。在蒙氏教具直接的效果檢驗(yàn)后，足見《階梯數(shù)學(xué)》這套書的作用，我也很高興地看到女兒真正地迎來了她的數(shù)學(xué)敏感期。 

我又趁熱打鐵地買來了這套書的5歲和6歲階段的部分，雖然在理解方面女兒不存在什么問題，相反更加深了她對某些知識(shí)的認(rèn)識(shí)，但是做題時(shí)的熟練程度明顯比做4歲階段時(shí)慢了一些。我想最大的原因可能是年齡問題，三歲多孩子的反應(yīng)速度肯定比需要達(dá)到的五歲的水平是要差一些的。

可是不管怎樣，女兒直到四歲的時(shí)候，還是完成了這兩個(gè)階段的所有內(nèi)容，從而了解了數(shù)學(xué)最初的基本概念，也具備了一定的數(shù)學(xué)思維能力。尤其是女兒很自然地學(xué)會(huì)了舉一反三，不僅能仿照書中的例子，編出她自己的題目，還能將其合理的發(fā)揮和運(yùn)用。每次當(dāng)女兒舉出她自己的例子時(shí)，我知道她是真的理解和吸收了。后來她的這種舉一反三的能力不僅被用在數(shù)學(xué)中，在生活的其它方面她也都能運(yùn)用得很好。

比如當(dāng)她知道人走路是需要產(chǎn)生摩擦力的，就能憑著自己的推斷，判斷出動(dòng)物走路、汽車行駛、鳥兒飛翔，都是會(huì)有摩擦力產(chǎn)生的。這點(diǎn)實(shí)在是難能可貴，也是我最希望看到的。 

整整一年的時(shí)間，女兒完成了《階梯數(shù)學(xué)》從三歲到六歲所有階段的練習(xí)，她學(xué)到了多少數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)并不重要，關(guān)鍵是這份堅(jiān)持的毅力，每天做數(shù)學(xué)題已經(jīng)成為了她的一個(gè)習(xí)慣，成為了她生活中不可缺少的一部分。

這份堅(jiān)持就連成人有時(shí)都不能做到，何況一個(gè)三歲多的孩子，這是要有多大的興趣驅(qū)動(dòng)才能做到的??！有時(shí)看著自己已經(jīng)做過的那一摞摞的書，女兒也會(huì)小小的驕傲一下，她會(huì)對我說：“媽媽，這些書真的都是我做過的嗎？我簡直都不能想象啊?！本褪窃谶@種不知不覺中，女兒不僅完成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的入門，還收獲了心智上的成熟。我會(huì)覺得她好像突然間長大了好多，思維更加靈活，考慮事情也更成熟，任性的行為也隨之減少了許多。 

女兒的表現(xiàn)和她所呈現(xiàn)出的狀態(tài)，徹底打消了我當(dāng)初的顧慮，我曾經(jīng)也擔(dān)心過，如果過早讓女兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，做大量的數(shù)學(xué)題是否會(huì)對年幼的女兒造成影響，讓她太早地感受到壓力，不利于她的成長。但事實(shí)卻證明，只要引導(dǎo)得好，不進(jìn)行任何形式的逼迫，女兒是非常愿意去做這件事的，并且做得很認(rèn)真，也很投入，效果也是有目共睹的，而且從長遠(yuǎn)來看，也并沒有對她以后的學(xué)習(xí)和生活造成什么不利的影響，反而還在很多時(shí)刻起到了意想不到的好的作用。

在學(xué)前班里的有些小朋友還在掰著指頭數(shù)數(shù)、不能正確進(jìn)行點(diǎn)數(shù)，甚至分不清6和9的時(shí)候，女兒已經(jīng)能夠進(jìn)行較為復(fù)雜的加減運(yùn)算了。其實(shí)我認(rèn)為之所以會(huì)有這樣的差別，并不僅僅是因?yàn)榕畠浩鸩奖人麄冊?，做的題比他們多，比他們付出更多時(shí)間和辛苦，更是因?yàn)樗龖{借自己的熱情，按照由淺入深、由易到難地將相關(guān)的數(shù)學(xué)邏輯深植在了自己的頭腦中，有了非常深刻的理解和認(rèn)識(shí)，這個(gè)過程發(fā)生在她的頭腦內(nèi)部，顯現(xiàn)在外部時(shí)就變成會(huì)寫數(shù)字，會(huì)點(diǎn)數(shù)，會(huì)運(yùn)算。

這些并不是我們表面看起來的那么簡單，也不是我們通常認(rèn)為孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只是練習(xí)數(shù)數(shù)和運(yùn)算就可以的。能否學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，就在于是否逐步積累了這些看不見，摸不著的數(shù)學(xué)思維能力。作為家長更不能被孩子是否會(huì)數(shù)數(shù)，是否會(huì)運(yùn)算的表面現(xiàn)象所迷惑，而只有那些深藏在腦中的思維能力才與他們在數(shù)學(xué)上能夠走多遠(yuǎn)緊密相關(guān)。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這件事情上，女兒始終作為主導(dǎo)，她的興趣和堅(jiān)持，是我輔助她學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)驅(qū)動(dòng)力。我甚至慢慢喜歡上這種站在她身后的感覺，在她勇往直前的時(shí)候，我只是用我的判斷幫她把握住方向，剩下的全部交給她自己，任由她自主掌控和支配。當(dāng)她飛速前進(jìn)的時(shí)候，我不會(huì)去阻攔，當(dāng)她懈怠不前時(shí)，我也不會(huì)催促，我始終都是一個(gè)跟隨者和配合者的角色。

后來我就在想，女兒性格的形成跟我的這種做法是否有很大的關(guān)系，女兒遇事很少會(huì)退縮，即使是明顯地感覺到阻礙，她也會(huì)試著找出興趣點(diǎn)和一定要完成的原因，然后憑借這些興趣和原因的支撐，將困難一點(diǎn)一點(diǎn)地攻克。她性格中的那種大膽嘗試，不怕失敗，敢于冒險(xiǎn)，充滿好奇心的特點(diǎn)，對她適應(yīng)新的環(huán)境，學(xué)習(xí)新的知識(shí)起到了很好的作用，并且她自始至終都非常地樂在其中。

用《奇跡幼兒數(shù)學(xué)》夯實(shí)基礎(chǔ)

關(guān)于女兒做數(shù)學(xué)題這件事，到這里還沒有結(jié)束，在她完成了整整三十本《階梯數(shù)學(xué)》上的題目之后，我發(fā)現(xiàn)她還會(huì)時(shí)不時(shí)找出其中一本，隨意翻看里面的內(nèi)容，就知道她對于數(shù)學(xué)的興趣仍然不減。所以我就又為她找來了《奇跡幼兒數(shù)學(xué)》的三到四歲、四到五歲和五到六歲三個(gè)階段的書來繼續(xù)滿足她的好奇心和她對做數(shù)學(xué)題的渴望。

這套書每個(gè)階段各有六冊，我個(gè)人認(rèn)為這套書不管是圖畫，還是內(nèi)容都要比《階梯數(shù)學(xué)》都要更勝一籌，其中的數(shù)學(xué)思維內(nèi)容也更多，有很多題目是要在經(jīng)過一定的思考后才能解答的。雖然兩套書的內(nèi)容也有一定的重復(fù)性，但女兒仍非常喜歡，拿到書后又馬上開始做了起來。做這套書的過程，其實(shí)是對她之前學(xué)過的內(nèi)容的一個(gè)復(fù)習(xí)和補(bǔ)充，也是一個(gè)必要的鞏固過程。

女兒從四歲開始到四歲半，又用了半年的時(shí)間，完成了《奇跡幼兒數(shù)學(xué)》這套書所有階段共十八冊的內(nèi)容。那時(shí)她掌握的數(shù)學(xué)相當(dāng)于現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材的人教版數(shù)學(xué)一年級（下）完結(jié)，二年級（上）開始的水平，已經(jīng)超出她的年齡兩個(gè)學(xué)年。因?yàn)樗宄刂雷约簲?shù)學(xué)的真實(shí)水平，所以她的自信心因此極大地增強(qiáng)。

在她五歲到德國上學(xué)前班時(shí)，很自然地將數(shù)學(xué)作為一個(gè)她的強(qiáng)項(xiàng)，是同班同學(xué)無法相比的。在其他同學(xué)還在掰著指頭數(shù)數(shù)的時(shí)候，她已經(jīng)能夠和老師配合完成難度較高的數(shù)學(xué)游戲了。但她卻沒有因此而驕傲，而是將在數(shù)學(xué)上的信心移植到了英語的學(xué)習(xí)中，她超前的數(shù)學(xué)能力對她學(xué)習(xí)英語是一個(gè)鼓舞。

那時(shí)她經(jīng)常對自己說的一句話是：“雖然我現(xiàn)在的英語是班里最差的，但是我的數(shù)學(xué)是班里最好的，我的英語一定也會(huì)像數(shù)學(xué)一樣，變得很好的。”那時(shí)，她總是會(huì)不斷地用她的數(shù)學(xué)優(yōu)勢為自己加油打氣。

現(xiàn)在想來，女兒三、四歲時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工夫真是沒有白費(fèi)，她不僅掌握了基本的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理，還增強(qiáng)了自信心。當(dāng)她面臨從零開始學(xué)英語這個(gè)難關(guān)時(shí)，這個(gè)自信心起到了非常關(guān)鍵的作用。

在女兒的心中，是有著堅(jiān)定的信念的，她始終相信自己一定能行，相信她的英語會(huì)越來越好。我和女兒還驚喜地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)優(yōu)勢不僅給她提升了自信，還為她學(xué)習(xí)英語起到了切實(shí)的幫助。

在老師上數(shù)學(xué)課的時(shí)候，因?yàn)橐呀?jīng)熟知老師所講的內(nèi)容，所以她更多的關(guān)注點(diǎn)，不是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而是英語本身，這就使她能夠更容易明白老師所講的話和所說的詞的含義，也更容易學(xué)會(huì)老師所說的句子和詞語，學(xué)會(huì)老師的表達(dá)方法，所以她很快就掌握了和數(shù)學(xué)有關(guān)的英語內(nèi)容。

顯然我起初并沒有預(yù)料到女兒提前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)帶來這樣的好處，只是憑直覺跟著女兒的步伐走。那時(shí)由于她的年齡小，我更多地是關(guān)注對她數(shù)學(xué)思維的啟蒙和培養(yǎng)，想要讓她從心里真正地愛上數(shù)學(xué)，而不僅僅是簡單意義上的算術(shù)。

人教版《數(shù)學(xué)》的擴(kuò)展學(xué)習(xí)

女兒五歲后，對數(shù)學(xué)的興趣仍然不減，但由于那時(shí)她的識(shí)字量有限，還不能自主學(xué)習(xí)，所以仍然是我陪著她學(xué)習(xí)人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材。

她直接略過小學(xué)一年級部分，從二年級開始，每天的學(xué)習(xí)都不超過半小時(shí)。每次學(xué)完數(shù)學(xué)之后，女兒都會(huì)有一種意猶未盡的感覺，恨不得再延長些時(shí)間繼續(xù)學(xué)。那時(shí)我們除了做一些書本里的配套習(xí)題外，還會(huì)根據(jù)課本的內(nèi)容做一些相關(guān)的實(shí)踐和練習(xí)。

如在學(xué)到四則混合運(yùn)算的時(shí)候，我們會(huì)一起玩超市購物的游戲，她假扮成超市的收銀員，我裝作顧客來購買商品。而我在購買的時(shí)候，會(huì)故意出一些加減乘除都會(huì)用到的題目給她，讓她來收錢找零。比如買了三個(gè)蘋果，每個(gè)蘋果2元錢，又買了四個(gè)梨，每個(gè)梨3元錢，然后給她20元錢，讓她算好后，把相應(yīng)的零錢找還給我。

這樣既鞏固了所學(xué)知識(shí)，又將數(shù)學(xué)運(yùn)用到了生活中，一舉兩得。在學(xué)到長度單位、重量單位的時(shí)候，我們也會(huì)用尺子和電子秤來對家里的物體測長度和稱重量，給女兒增加更多的感性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)書中涉及到的動(dòng)手操作部分，我們也都會(huì)認(rèn)真操作完成。

她從來都不覺得數(shù)學(xué)是枯燥的，因?yàn)閿?shù)學(xué)和生活息息相關(guān)這個(gè)認(rèn)識(shí)已經(jīng)深深的根植于她的腦海中，她知道數(shù)學(xué)來源于生活，反過來還會(huì)應(yīng)用到生活中，比如超市購物、繪制地圖、建造房屋、發(fā)射火箭等等。

她從小就明白，現(xiàn)在學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在生活中都會(huì)用到，它是為了讓我們生活得更美好；將來她要學(xué)習(xí)到的高等數(shù)學(xué)和更深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)，是為了更好地研究我們所居住的世界和浩瀚的宇宙做準(zhǔn)備的。我認(rèn)為讓孩子從小就有一種學(xué)以致用的概念和認(rèn)知是十分必要的，這樣他們才會(huì)明白所學(xué)的東西并不是我們憑空想象出來的，不是對我們的生活毫無用處的，而是和我們的生活，乃至未來的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造是息息相關(guān)的。

女兒對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也充滿了向往，有機(jī)會(huì)就會(huì)纏著我給她講我當(dāng)時(shí)學(xué)微積分、線性代數(shù)、概率論時(shí)的情形，她希望從我的講述中能夠?qū)Ω叩葦?shù)學(xué)窺見一斑，認(rèn)真得就像在聽一個(gè)動(dòng)聽的故事一樣，她是那么好奇這些數(shù)學(xué)到底都包含哪些內(nèi)容，都是怎么被應(yīng)用在生活中的。她還經(jīng)常想象著未來自己也能像一個(gè)真正的物理學(xué)家、天文學(xué)家一樣，通過自己對于這個(gè)宇宙的了解，也通過自己的所學(xué)，知曉更多的天體奧妙，也像他們一樣能夠有重大的發(fā)現(xiàn)。

在每完成一冊數(shù)學(xué)書的學(xué)習(xí)后，女兒都會(huì)央求我繼續(xù)開始下一冊書的學(xué)習(xí)，雖然那時(shí)她對某些知識(shí)的掌握還不是很牢固，但是她在內(nèi)容的理解上不存在問題。所以為了滿足她的好奇心和探索欲，我們一冊接著一冊地學(xué)習(xí)，并沒有進(jìn)行額外的練習(xí)。這樣到她七歲以前，就已經(jīng)學(xué)完了二年級和三年級的全部數(shù)學(xué)課程。這時(shí)我發(fā)現(xiàn)，由于她缺少消化吸收的過程，熟練度越來越不能滿足要求，所以決定暫停繼續(xù)學(xué)習(xí)下面的內(nèi)容，而開始做一些必要的習(xí)題來鞏固所學(xué)內(nèi)容。

在做練習(xí)題之前，女兒會(huì)把數(shù)學(xué)書再溫習(xí)一遍，我不做任何的指導(dǎo)和幫助，目的是培養(yǎng)她自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的能力。我發(fā)現(xiàn)已經(jīng)可以進(jìn)行中文獨(dú)立閱讀的女兒竟然能把數(shù)學(xué)書當(dāng)成故事書來看，一拿起來就放不下了，非常地投入。之后還是每天半小時(shí)的習(xí)題時(shí)間，先是簡單的按單元進(jìn)行口算速算的練習(xí)，然后做每個(gè)單元的綜合試卷，從最初的不能很好地理解題目，漏做題目，到后來越來越熟練，計(jì)算速度和準(zhǔn)確率也跟著穩(wěn)步提升上來了。

這樣女兒從七歲開始，用了半年的時(shí)間，自主復(fù)習(xí)了二年級上、下冊的數(shù)學(xué)書，并做了相應(yīng)的練習(xí)。之后又開始了對三年級數(shù)學(xué)的自主復(fù)習(xí)，這時(shí)我發(fā)現(xiàn)，她的復(fù)習(xí)速度比之前的半年要快了很多，掌握程度也比之前要好很多，做起習(xí)題來更加得心應(yīng)手，錯(cuò)誤率也比較低。這就說明她的自主學(xué)習(xí)能力在不斷地增強(qiáng)，已經(jīng)從被動(dòng)地吸收轉(zhuǎn)換成了主動(dòng)地學(xué)習(xí)。

能夠讓女兒獨(dú)立完成自主學(xué)習(xí)，一直都是我最希望看到的，不管是數(shù)學(xué)，還是中文或英語。自主學(xué)習(xí)不僅意味著她能充分地發(fā)揮主觀能動(dòng)性，還能讓她在不斷地摸索中找到最適合她自己，也最行之有效的學(xué)習(xí)方法。說白了，就是讓她學(xué)會(huì)自學(xué)，并有一套屬于她自己的學(xué)習(xí)方法。

在遇到比較難的題目，或是不太理解的地方時(shí)，女兒也會(huì)來尋求我的幫助，此時(shí)我也不是一味地講解，而是采取提問的方式，啟發(fā)她的思考和理解，更多的時(shí)候我們采取的則是一種討論的方式。這樣她的參與感就會(huì)很強(qiáng)，做出題目后也會(huì)有成就感，而不是不會(huì)解題時(shí)感到的挫敗感。

之后我還會(huì)讓女兒做一件非常重要的事情，那就是憑借她自己的理解來給我講解題目要求和解題思路，并把她腦中所想的內(nèi)容用語言表達(dá)出來，同時(shí)說明自己的理由，還要仿照題目編出類似的問題來讓我解答。如果她能夠在講解的過程中，清晰、正確地表達(dá)和描述，并且富有一定的邏輯性，那么基本可以斷定，她此時(shí)是真正的理解透徹了。如果不能合理、明白地描述題目和解答方法，那就說明她還沒有真正地理解到位，沒有完全地搞懂，所以我們還要回過頭去，重新理解和分析題目，從不同的角度來研究那些出了問題的題目。

對比傳統(tǒng)的填鴨式教育，這種主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程更能引發(fā)思考，加深理解，化被動(dòng)為主動(dòng)，也更能體會(huì)到學(xué)習(xí)過程中的快樂。

由此可以看出，我的不只局限于書本的教法，對所學(xué)知識(shí)大膽地進(jìn)行擴(kuò)展和延伸，其實(shí)更有助于她對知識(shí)整體地理解和掌握，對女兒來說是再合適不過的了。她不僅可以跟上我的講解，還能通過理解，明白并記住其中的含義，抓住精髓。

在她學(xué)到人教版四年級數(shù)學(xué)（上）中角的度量時(shí)，我們把角的概念擴(kuò)展到優(yōu)角和劣角，而不僅僅局限于書中所講到的平角、周角等，這不僅沒有讓她感到困惑，反而還增進(jìn)了她對角的概念的整體認(rèn)識(shí)，起到了事半功倍、融會(huì)貫通的效果。

這種類似的擴(kuò)展我還做過其它的，如講到整數(shù)的時(shí)候，我也一并把正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正無窮、負(fù)無窮的概念講給她聽，她在聽的過程中，不僅理解了應(yīng)掌握的內(nèi)容，還對數(shù)字王國充滿了更多的好奇，她雖然不能完全想明白正無窮、負(fù)無窮到底是個(gè)什么樣子，總是會(huì)對無窮這個(gè)概念追問不止，但是卻覺得它們是那么的奇妙，還想要去繼續(xù)探索和研究它們。

在講到直線和射線的時(shí)候，我們也歸納總結(jié)了其它線的種類和特點(diǎn)，這樣女兒在描述一些基本概念的時(shí)候，就不會(huì)把這些線的名稱搞混，能夠清晰而又準(zhǔn)確地進(jìn)行描述。

在講到平行四邊形時(shí)，我為女兒拓展了在同一個(gè)平面內(nèi)的直線和不在同一個(gè)平面內(nèi)的直線的概念，并試著向她解釋同一平面內(nèi)、不同平面內(nèi)直線間的不同位置關(guān)系，本來需要用到很多空間想象能力才能理解的內(nèi)容，沒想到女兒很快就搞懂了，這不僅更讓她感覺到數(shù)學(xué)的神奇，還幫助她很好地理解了平行四邊形的基本概念。

我同樣也擴(kuò)展了平行四邊形高的畫法，讓她不至于對于概念的理解那么片面和單一，原來平行四邊形的高有很多條，而不僅僅是書中演示的那一種畫法。

靈活的思維，延伸的思考，非常有助于女兒接受數(shù)學(xué)知識(shí)和探索數(shù)學(xué)奧秘，對于她真正地掌握基本的數(shù)學(xué)概念也是大有益處的。

可喜的是，女兒也學(xué)會(huì)了這個(gè)方法，她在學(xué)到小數(shù)的時(shí)候，自動(dòng)將無窮的概念擴(kuò)展開來，她可以自己思考出在1和2之間的小數(shù)的位數(shù)可以是無窮的，如1.230920……，同樣2和3之間的小數(shù)也可以，從而推斷出其它任一小數(shù)的位數(shù)也可以是無窮的。在學(xué)到減法的時(shí)候，她由20-6自然地想到了6-20，運(yùn)用之前知道的負(fù)數(shù)概念，很快就能得出相應(yīng)的-14的結(jié)果，對于題目和結(jié)果的理解也很正確。

多么完美的數(shù)學(xué)知識(shí)延伸啊，這就讓我不由得地感嘆，只要我們敢于給予孩子更多的思考空間，大膽地讓他們接觸未知的世界，他們的接受能力和理解能力往往會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的想象，我們要做的只是要多給他們創(chuàng)造這樣的機(jī)會(huì)。

這就是女兒的家庭課堂的最大好處，我這個(gè)媽媽作為老師能夠確實(shí)地做到對女兒的因材施教，我可以根據(jù)她的接受程度對知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣购挽柟獭?/p>

我想只要我大膽地放手讓她去探索，去想象，她的學(xué)習(xí)效果會(huì)比傳統(tǒng)的照本宣科的講授方式得到的效果要來得更好。同時(shí)女兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程也打破了我對固有教學(xué)方法的認(rèn)知，從而激發(fā)了我采用另一種較為靈活的思路和方式來講授知識(shí)的想法。

我和女兒互相啟迪對方的智慧，互相學(xué)習(xí)和進(jìn)步，我因此也從女兒身上學(xué)習(xí)到了很多，這就是所謂的教學(xué)相長啊！ 

會(huì)算多少題其實(shí)并不是最重要的，憑借自己的理解能夠掌握數(shù)學(xué)思維和基本方法，學(xué)會(huì)思考和推斷，這是我尤為看重的，所以我為女兒感到由衷的高興。女兒在得到我的肯定后，也更加堅(jiān)定了要將數(shù)學(xué)學(xué)好的決心。而我也相信因?yàn)樗恢币詠矶急Ｓ兄@份渴望，憑借著她的努力和熱情，定能實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)，并從中獲得真實(shí)的快樂。

下面是我對女兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的幾個(gè)問題的思考和見解：

1、選擇西方教材還是中國教材

該如何選擇女兒五歲之后的數(shù)學(xué)教材？我在多方考量后，最終決定還是選擇人教版的數(shù)學(xué)教材。

其中最主要的原因，是為了回國后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的無縫銜接。其次，通過對比歐美的數(shù)學(xué)教材和中國教材，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)它們涵蓋的內(nèi)容基本相同，只是側(cè)重點(diǎn)略有不同，中國的教材還顯得更精練一些，脈絡(luò)也更清晰一些。

但就是因?yàn)檫@種精練，更要求在學(xué)習(xí)的過程中，要進(jìn)行更多的自主思考，分析消化書中的內(nèi)容。否則不能很到位地理解它們的含義，女兒就不會(huì)真正地學(xué)會(huì)其中的內(nèi)容，在做練習(xí)題時(shí)就會(huì)出錯(cuò)。學(xué)習(xí)的過程中，這個(gè)必要的思考起著決定性的作用，也是應(yīng)該著重培養(yǎng)的。 

我認(rèn)為學(xué)生之所以在學(xué)習(xí)成績上會(huì)有差別，其實(shí)區(qū)別主要就在這個(gè)思考的環(huán)節(jié)上，理解能力和分析能力的不同，導(dǎo)致對知識(shí)點(diǎn)的掌握上也存在偏差，而不單單是指表面上的做對多少題，做錯(cuò)多少題那么簡單。這種思考和領(lǐng)悟的能力，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在。
 

西方的數(shù)學(xué)教材的進(jìn)度相對中國教材來說，比較緩慢，目的是用足夠的時(shí)間將一個(gè)內(nèi)容講通、講透，從各方面來進(jìn)行講解，習(xí)題同類性也很強(qiáng)，往往幾十道習(xí)題都在練同一個(gè)內(nèi)容，進(jìn)階性和難度提升都不明顯，挑戰(zhàn)性就要差一些。這種講解對于一般學(xué)生來說，是有好處的，但是對于學(xué)有余力的學(xué)生來說，反而會(huì)慢慢磨滅掉他們的興趣，起到相反的作用。

2、到底該如何把握做題的量

題海戰(zhàn)術(shù)的確能夠鍛煉做題的熟練度和準(zhǔn)確度，但是對于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)作用其實(shí)并不明顯。題目做得越多，耗費(fèi)的時(shí)間也就越長，不利于真正能力的提升。但是如果沒有必要的熟練度和準(zhǔn)確度，不僅在考試中會(huì)失利，久而久之也會(huì)影響自信心。所以，該如何把握好一個(gè)適合孩子的題量，也是一個(gè)需要關(guān)注的問題。

雖然女兒也會(huì)做一些數(shù)學(xué)試卷，但我從不在準(zhǔn)確率上過分地要求她，只是作為對所學(xué)知識(shí)掌握程度的一個(gè)檢測。通過做一些數(shù)學(xué)題能夠反應(yīng)出她理解還不到位，掌握還不牢固的地方，從而進(jìn)行再復(fù)習(xí)和練習(xí)來加深理解。

所以女兒每次做題時(shí)沒有什么壓力，出現(xiàn)不會(huì)解答的問題時(shí)，她也不會(huì)慌張，因?yàn)槲覀兊哪康氖且业絾栴}、解決問題，在這個(gè)過程中學(xué)會(huì)真正的思考是最重要的，至于做了多少題，做對了多少題，不是我們的重點(diǎn)。

這樣即使她做習(xí)題時(shí)的準(zhǔn)確率不是百分之百，她也不會(huì)有過多的負(fù)擔(dān)，只是要盡己所能做到最好。但我們從不會(huì)放過由于知識(shí)點(diǎn)沒有掌握而做錯(cuò)的題目，肯定要分析錯(cuò)誤出現(xiàn)的原因，進(jìn)行剖析講解，最后還要反復(fù)多次練習(xí)直到最終掌握為止。
 

3、是否真的存在“馬虎”的問題

在我和女兒一起分析錯(cuò)題的過程中，我發(fā)現(xiàn)她之所以會(huì)犯錯(cuò)，還是因?yàn)閷τ陬}目和知識(shí)點(diǎn)沒能很好的理解，即使是那些看似非常簡單的題目。

很多人會(huì)認(rèn)為學(xué)生所犯的那種低級錯(cuò)誤，是因?yàn)轳R虎不仔細(xì)，不夠認(rèn)真造成的，我認(rèn)為其實(shí)不然。比如看錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)的問題，女兒經(jīng)常會(huì)犯這樣的錯(cuò)是在最初學(xué)習(xí)乘法時(shí)，會(huì)錯(cuò)把乘號(hào)看成加號(hào)。其實(shí)這并不是因?yàn)轳R虎，而是她腦中有個(gè)慣性思維，對于加法和減法印象深刻，還沒有將乘法也納入進(jìn)來。隨著對乘法更熟悉和理解，乘法在她的頭腦中也占有一席之地后，她就基本上不再犯看錯(cuò)符號(hào)的錯(cuò)誤了。 

比如女兒有時(shí)會(huì)經(jīng)常在一個(gè)章節(jié)中，重復(fù)地犯類似的低級錯(cuò)誤，也不是因?yàn)椴徽J(rèn)真，而是對這個(gè)章節(jié)的內(nèi)容還沒有真正地理解，等到我們再對這個(gè)章節(jié)的內(nèi)容重復(fù)復(fù)習(xí)和思考后，她就再不犯那些類似的錯(cuò)誤了。 

再比如我總是會(huì)將女兒一個(gè)階段出現(xiàn)的錯(cuò)題重新抄寫一份再讓她來做，結(jié)果發(fā)現(xiàn)即使是比較簡單的題目，再次重復(fù)做的時(shí)候她還是做不對，這就更不是馬虎的問題了，不同時(shí)間在同一個(gè)題目上因?yàn)轳R虎而出錯(cuò)兩次以上似乎不太能解釋得通。這就提醒了我和女兒，認(rèn)真對待每一道做錯(cuò)的題目，因?yàn)槌鲥e(cuò)都是有原因的，不能簡單地用“馬虎”來敷衍了事。出錯(cuò)并不可怕，關(guān)鍵是要找出出錯(cuò)的緣由，從根本上杜絕再犯。 

出錯(cuò)還與沒有進(jìn)行必要的檢查有關(guān)系，所以我和女兒商定，在做練習(xí)題時(shí)，不要貪圖做很多，但是在做完后，要進(jìn)行驗(yàn)算和檢查。經(jīng)過女兒檢查后的習(xí)題，錯(cuò)誤率大大地降低了，很多時(shí)候可以達(dá)到零錯(cuò)誤率。她也從中體會(huì)到了檢查的實(shí)際好處，也漸漸地養(yǎng)成了這個(gè)好習(xí)慣。檢查本身也是一種能力，有些題目檢查的過程其實(shí)就是逆運(yùn)算的過程，起到能讓人更清楚地理解知識(shí)點(diǎn)的作用。

4、適當(dāng)?shù)倪M(jìn)度與融會(huì)貫通

回顧女兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，進(jìn)度算是比較快的，在一個(gè)階段學(xué)習(xí)完成，對整體內(nèi)容有了清楚的認(rèn)識(shí)后，再回過頭來進(jìn)行復(fù)習(xí)，做細(xì)化鞏固練習(xí)。我發(fā)現(xiàn)這樣做其實(shí)是一個(gè)融會(huì)貫通的過程，學(xué)習(xí)后面內(nèi)容的同時(shí)，也能引發(fā)對前面所學(xué)的重新思考。關(guān)于學(xué)習(xí)的進(jìn)度問題，我認(rèn)為是越快越好，只要是在能夠承受的范圍內(nèi)，適當(dāng)?shù)靥岣呦聦W(xué)習(xí)的速度，其實(shí)對于理解和掌握是有好處的。

這點(diǎn)不僅適用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，在我和女兒學(xué)習(xí)中文、英文時(shí)也有類似的情形出現(xiàn)。慢工不一定出細(xì)活，進(jìn)度如果過于慢的話，最容易被消磨掉的就是興趣。沒有了興趣，學(xué)習(xí)的效果就會(huì)大打折扣。如果在某一階段我發(fā)現(xiàn)女兒接受得很快，就會(huì)加快些進(jìn)度，如果她接受起來有些問題，則會(huì)暫緩進(jìn)度，這樣可以始終保持她對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一個(gè)持續(xù)的熱情，能夠有助于她真正地愛上探索數(shù)學(xué)這個(gè)未知而又奇妙的世界。 

女兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一直保持在超前的狀態(tài)，具體超前多少則完全取決于她自己，實(shí)際情況是她的水平超前于同齡的中國小學(xué)生，更超前于德國學(xué)校的同年級的同學(xué)很多。到女兒八歲上國際學(xué)校三年級的時(shí)候，開始參加學(xué)校的Measures of Academic Progress（簡稱MAP）考試，這是學(xué)校為數(shù)不多的考試之一，只有三年級以上的學(xué)生參加。

考試采取機(jī)考的形式，題目都是自適應(yīng)的，系統(tǒng)會(huì)根據(jù)學(xué)生回答問題的準(zhǔn)確與否來調(diào)整后面題目的難易程度。所以如果題目越做越難，則預(yù)示著考試的成績會(huì)比較好；相反，如果題目越做越簡單，則預(yù)示著成績并不十分理想?？荚嚱Y(jié)束后會(huì)有一個(gè)結(jié)果報(bào)告，包含各科分?jǐn)?shù)、平均分?jǐn)?shù)、排名百分比和學(xué)生進(jìn)步情況，比較的是所有參加該考試的世界范圍內(nèi)的同年級學(xué)生。 

她三年級上學(xué)期第一次參加這個(gè)考試的時(shí)候，數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)是220分，所有三年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)是190分，她的排名在前1%。這個(gè)排名百分比意味著她掌握的數(shù)學(xué)難度已經(jīng)遠(yuǎn)超其他參加考試的同學(xué)。她考試回來后，曾與我討論考試的情況，說的確感覺題目好難，有些根本是她沒有學(xué)到的。

例如她的題目中有估算角的度數(shù)的問題，她曾經(jīng)只學(xué)習(xí)過角的初步知識(shí)，包含直角、銳角、鈍角的區(qū)分和辨別，圖形中有哪些種類的角等，但沒有學(xué)過角的度數(shù)測量，只是我在講到角的時(shí)候，順便提及了一下。如銳角的角度范圍，鈍角的角度范圍，大概什么樣的角的度數(shù)是多少等等，之后也沒有做過類似的練習(xí)。她僅憑對我提到的這些內(nèi)容的記憶和推理在答題，選擇的是她認(rèn)為最接近的答案，而且這類題目在考試中還不只出現(xiàn)了一次。 

在這種難度自適應(yīng)的考試中，特別能夠看出一個(gè)學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的真實(shí)情況，以及他是否吃透了那些內(nèi)容，并將它們進(jìn)行了必要的擴(kuò)展，因?yàn)檫@種考試的難度實(shí)際上是沒有上限的，學(xué)生可以盡情地發(fā)揮自己的水平。對于基本概念理解得越深入，擴(kuò)展得也就越好，即使是沒有學(xué)過的內(nèi)容，學(xué)生也可以運(yùn)用自己的邏輯推理能力嘗試著去解答，并且絲毫沒有畏難的情緒。

女兒在參加三年級的MAP考試時(shí)，做了一些多位數(shù)的乘法后，還遇到了一些除數(shù)是兩位數(shù)的除法試題，類似64／16＝？這樣的題目，也是她沒有學(xué)到過的。她給我描述了她的答題思路，先用被除數(shù)除以除數(shù)的十位，然后再用被除數(shù)除以除數(shù)的個(gè)位，再把兩個(gè)近似的結(jié)果相加，選擇了一個(gè)最接近的答案。她解釋她是仿照兩位數(shù)的乘法來逆推回來的。因?yàn)槌朔ɡ锏拇_是可以這樣計(jì)算的，如32最12＝？，可以先用32乘以10，再用32乘以2，然后把兩個(gè)結(jié)果相加就是最終的答案。 

雖然她的除法解題思路是不正確的，最終計(jì)算的結(jié)果也是錯(cuò)誤的，但女兒敢大膽從乘法逆推到除法的想法著實(shí)還是讓我吃了一驚。首先她的大膽嘗試就已經(jīng)證明她有勇于嘗試的勇氣，她想到用乘法來逆推，說明她已經(jīng)具備一定的邏輯思維和推理能力，即使推導(dǎo)的方法不正確，但她的這種想法和行為是值得贊賞的。 

在這次考試中遇到了除數(shù)是兩位數(shù)的除法，不僅沒讓她對數(shù)學(xué)感到氣餒，反而還激發(fā)了她想要學(xué)習(xí)的欲望，所以在盡快鞏固了之前所學(xué)的內(nèi)容后她開始了人教版四年級數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)進(jìn)度又是不出所料地突飛猛進(jìn)。當(dāng)學(xué)到除數(shù)是兩位數(shù)的除法時(shí)，對于將除數(shù)看成一個(gè)整體的這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解對她來說也確實(shí)是一個(gè)難點(diǎn)，不過她最終還是通過慢慢地領(lǐng)悟和體會(huì)，做到了真正地理解。 

當(dāng)女兒三年級學(xué)年末第二次參加學(xué)校的MAP考試時(shí)，她已經(jīng)能夠非常輕松地應(yīng)對這部分的試題了，這就導(dǎo)致她的試題難度又上升了一個(gè)檔次，在她的考試中竟然出現(xiàn)了包含x、y的一次、二次方程的題目。正如我所料，這之后她又對方程的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生了興趣，在我簡單地為她做了講解后，她能一下子就明白其中的含義，知道了解方程的基本方法。 

讓我感到開心的，不是女兒取得的考試成績，而是她在考試過程中遇到未知題目時(shí)能夠不輕易放棄，積極地思考，和她做出的大膽地推測、假設(shè)、分析、驗(yàn)證的一系列舉動(dòng)。還讓我感到欣喜的，是女兒完全不把考試當(dāng)成一個(gè)負(fù)擔(dān)，反而還能從中獲得真正的快樂，引發(fā)她繼續(xù)探索的熱情和動(dòng)力，和要繼續(xù)把數(shù)學(xué)學(xué)好的信心和勇氣，實(shí)屬難得。