小初高數(shù)學(xué)路線之幾何篇

代數(shù)從小學(xué)到初中，進一步到高中，是遵循著非常清晰的幾條脈絡(luò)一路直上。 而幾何由于研究對象的關(guān)系，從小學(xué)到初中上半段，研究的對象其實是一樣的，區(qū)別就是小學(xué)側(cè)重于直觀認識，初中側(cè)重于定量的分析，整個脈絡(luò)呈現(xiàn)出一種螺旋上升的態(tài)勢。    

到了高中，幾何也傾向于代數(shù)化，無論是空間向量解決立體幾何問題，還是解析幾何，清晰的展示出這種傾向。

所以我們可以說，如果不考慮中考，從重要性上講，代數(shù)是更重要一點的，其次是幾何，最后是概率統(tǒng)計。

先來分析小學(xué)的幾何內(nèi)容！

小學(xué)幾何的主要內(nèi)容可以劃分成幾部分： 位置、方向，幾何體（長方體、正方體、圓柱、圓錐、球）的認識以及相關(guān)的體積、表面積計算，幾何圖形的認識以及相關(guān)的面積計算，圖形的運動（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)），測量長度、角度，三視圖。

一年級上冊的幾何內(nèi)容主要有三個： 位置、認識圖形（一）幾何體的認識、認識鐘表。

位置和方向要注意相對性和絕對性 ，比如前后和左右上下都是一個相對的概念，要看參照物的。

但是方向比如東南西北是絕對的。

老實說，小學(xué)把幾何體的認識放在小學(xué)一年級上冊是非常好的舉措，對于學(xué)生建立空間感很有用！

小學(xué)一年級上冊 先感受幾何體的直觀特征，包括長方體、正方體、圓柱、球。

然后在一年級下冊 再認識圖形，包括長方形、正方形、平行四邊形、圓形、和三角形。

這里主要是讓學(xué)生對幾何圖形有一個認識，包括幾何圖形的拼接。

說到這里，說一點閑話， 相對于代數(shù)的嚴謹邏輯，小學(xué)的幾何編排也不是特別嚴謹，畢竟內(nèi)容有限，所以如果想超前學(xué)習(xí)的話，其實可以從幾何入手，只要孩子學(xué)會了測量長度和角度，很多幾何性質(zhì)都可以通過測量發(fā)現(xiàn)。

其實是親子學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生動手能力，觀察能力、歸納能力的絕好素材。還有某些幾何圖形可以看做是幾何體的面，在課文以及課后習(xí)題中都有所體現(xiàn)，這其實就是涉及到三視圖了。

說到三視圖，就要多提一下，沒有想到小學(xué)教材里把三視圖講了這么多！

三視圖從一年級下冊開始涉及，到二年級上冊觀察物體（一）、四年級下冊觀察物體（二）、五年級下冊觀察物體（三），七年級上冊幾何圖形初步，一直圍繞這一概念在不停深入！

但其實內(nèi)容并沒有太多變化，本身也并不慢。

三視圖雖然在高中新課標中已經(jīng)刪去，但是對于培養(yǎng)學(xué)生的空間認知，幾何體和平面圖形的轉(zhuǎn)換能力，都很有幫助。

其實可以酌情將此四節(jié)放在一起講解！這是沒有問題的，完全可以通過做游戲的方式進行！作為培養(yǎng)孩子空間能力的練習(xí)方式！

二年級上冊，開始學(xué)習(xí)研究幾何的工具，長度以及角。

在小初階段，角的概念是從一個點出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形，但是在高中，角是一條射線沿端點旋轉(zhuǎn)而成的，這樣的話，角的范圍就可以擴大到整個實數(shù)集，有負有正。

而射線的旋轉(zhuǎn)和鐘表中指針的旋轉(zhuǎn)非常類似。

所以鐘表是非常好的一個載體，通過它可以對角的高級概念有一個認識，而且鐘表指針反復(fù)旋轉(zhuǎn)，也是周期性的絕好素材。

再插句題外話， 我們的教材編寫雖然有這樣那樣的缺點，但是我個人覺得還是非常用心的，從一些例題、課后習(xí)題中，你可以找到很多伏筆，都與高一級的知識有聯(lián)系，就看家長和老師是否能充分運用了。

二年級下冊開始接觸 圖形的運動，主要是對折、平移和旋轉(zhuǎn)，到四年級下冊會繼續(xù)學(xué)習(xí)圖形的運動（二），主要是軸對稱和平移，到五年級下冊學(xué)習(xí)圖形的運動（三），主要研究旋轉(zhuǎn)。九年級上冊學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)，主要研究旋轉(zhuǎn)和中心對稱。

這一部分內(nèi)容是非常重要的，重要性在于兩條：

一條是圖形的運動在初中平幾考題里經(jīng)常出現(xiàn)，甚至不僅僅是平幾題，在壓軸的二次函數(shù)題目里，為了加大難度，也會涉及到圖形運動，尤其是旋轉(zhuǎn)、平移。

第二條是高中函數(shù)圖像里會涉及到平移，函數(shù)的奇偶性本質(zhì)上是對稱性，軸對稱和中心對稱。

到三年級上冊 開始接觸長方形、正方形的概念以及周長計算，三年級下冊開始學(xué)習(xí)面積，由此開始系統(tǒng)的學(xué)習(xí)平幾初步知識，但仍然是以簡單認知加基本計算為主。

四年級上冊 學(xué)習(xí)角度的度量，以及平行四邊形和梯形，同時學(xué)習(xí)了平行和垂直的概念。

秘?在這里要多展開講一講，角度的度量家長要告訴學(xué)生，角度的劃分是人為規(guī)定的，并不是天生的，它的作用是什么？

因為在高中還要學(xué)習(xí)新的角度度量方式，即弧度制，如果明白角度規(guī)定的原理，對于之后理解弧度制是有用的。

同時 既然有平行四邊形作為素材，又學(xué)習(xí)了角度的度量，完全可以引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試去找一找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系！

引導(dǎo)孩子歸納推理！

四年級下冊 學(xué)習(xí)三角形，在最后涉及到四邊形的內(nèi)角和、凸多邊形的內(nèi)角和，非常好的數(shù)列素材！也可以歸納推理出凸多邊形內(nèi)角和公式！

五年級上冊學(xué)習(xí) 多邊形的面積，包括平行四邊形、三角形、梯形，五年級下冊學(xué)習(xí)幾何體的體積和表面積，包括長方體、正方體的體積和面積，六年級上冊學(xué)習(xí)圓的面積和周長以及扇形，六年級下冊學(xué)習(xí)圓柱、圓錐的體積，以及圓柱的表面積。

這一部分知識到高一上學(xué)期的必修二還要再深入的學(xué)習(xí)，面積公式初中還要使用，體積公式初中基本沒有使用。

但是在這里要特別強調(diào)的是， 周長、面積公式或者體積公式本質(zhì)上其實已經(jīng)是函數(shù)了，里面的半徑r其實就相當于是函數(shù)的自變量。

秘?在這里可以稍微引一引，讓學(xué)生對于半徑r和周長、面積、體積的對應(yīng)關(guān)系有一個認識。

特別需要說明的是，圓的面積公式運用到了微積分的基本思想。

到此，小學(xué)的幾何內(nèi)容算是告一段落。

秘?初中的平面幾何， 一方面建議大家早著手，讓孩子學(xué)習(xí)，另一方面要特別重視這方面的訓(xùn)練，不光是為了應(yīng)試，而是平面幾何的證明是少有的直接鍛煉學(xué)生邏輯思維能力的知識，而且是初高中階段僅有的一部分了。

現(xiàn)在高中立體幾何證明都用向量作為工具，代數(shù)化了！

七年級上冊學(xué)習(xí) 幾何圖形初步，除了回顧總結(jié)之外，又對角進一步研究。角的學(xué)習(xí)歷經(jīng)了二年級上冊、四年級上冊、七年級上冊學(xué)習(xí)了角的比較與計算，才算完整的學(xué)習(xí)完畢。至此才算真正拉開系統(tǒng)的幾何學(xué)習(xí)的篇章。

七年級下冊學(xué)習(xí) 相交線與平行線，開始研究平行關(guān)系的判定與證明，這是初中幾何非常重要的部分！

一定要從這個時候重視起來，因為從這里開始，孩子開始學(xué)習(xí)證明，以前大都是計算，而證明題和計算題還是有區(qū)別的，所以一定要在這里多下功夫，學(xué)會證明題的思維方式，加強邏輯能力的培養(yǎng)！

之后八年級上冊學(xué)習(xí) 三角形、全等三角形、軸對稱，八年級下冊學(xué)習(xí)平行四邊形，九年級上冊學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)和圓，九年級下冊學(xué)習(xí)相似和銳角三角函數(shù)。

基本上初中平幾都集中在八年級、九年級。

這里要強調(diào)一下相似的重要性，初中平幾的核心是相似，一定要把相似的證明技巧放在重要的位置上。

另外之所以把銳角三角函數(shù)歸在幾何中，是因為與其叫三角函數(shù)，不如叫三角比，是在直角三角形中探討的。

??最后對于初中階段的幾何，要著重說一下平面直角坐標系，這是非常重要的一個內(nèi)容！

不僅僅是在繪制函數(shù)圖像時有用，更重要的是它所體現(xiàn)的幾何圖形代數(shù)化的思想，一旦有了坐標系，幾何圖形都是可以代數(shù)化的。

而且在初中也提供了這樣的素材，一元一次函數(shù)，因為一元一次函數(shù)其實在形式上和二元一次方程是一樣的，所以直線可以說是一元一次函數(shù)的圖像，也可以認為是二元一次方程的圖像。

初中的很多東西，有時候就是為高中學(xué)習(xí)做一個鋪墊，你提到了，當時可能沒有用，但是之后遇到的時候，孩子回想起來，會掌握得更快。

??到了高中，幾何反而變得簡單明了，兩個部分，立體幾何與解析幾何兩部分。

高一上學(xué)期必修二學(xué)習(xí)立體幾何與解析幾何初步，高一下學(xué)期必修四學(xué)習(xí)向量，這樣到高二上學(xué)期就可以用空間向量解決立體幾何問題。

高二上學(xué)期再學(xué)習(xí)一下解析幾何，將幾何圖形用方程表示，研究方程去研究幾何圖形的關(guān)系。之后又引入極坐標系，參數(shù)方程兩部分，也是這種思路的延伸。

把向量放在幾何里，是因為向量是將幾何與代數(shù)聯(lián)系的工具。但是到了大學(xué)，向量又是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，最好要讓孩子知道，平面向量、空間向量只是向量的特殊形態(tài)。