11張DK數(shù)學(xué)圖向你揭示應(yīng)該怎么教兒童運(yùn)算

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昨日數(shù)學(xué)思維交流群里一位家長(zhǎng)問(wèn)了一道除法題：63／7＝？為什么孩子不能從七九六十三直接給出答案，有家長(zhǎng)問(wèn)到底是不熟練，還是不理解導(dǎo)致。

我的回答是：既不熟練，也不理解。

為什么呢？

如何既熟練又理解呢？

大家可以看下面群內(nèi)的對(duì)話。

運(yùn)算訓(xùn)練的關(guān)鍵是什么？

我在上面的對(duì)話中，總結(jié)了三步驟：

第一、要進(jìn)行推理性訓(xùn)練。什么是推理性計(jì)算，重點(diǎn)是從數(shù)量關(guān)系入手，哪怕是＋1＋1逐個(gè)加上去，也是最原始的可行的策略。

第二、要進(jìn)行多策略訓(xùn)練。比如6＋8＝14,可以從8比10少2,推出答案比16少2是14,也可以把8拆分成4與4,得出14.

第三、要進(jìn)行熟練度訓(xùn)練。也就是最后一個(gè)環(huán)節(jié)，在理解基礎(chǔ)上，訓(xùn)練反應(yīng)和速度。

有人說(shuō)，為什么要那么復(fù)雜，乘法背熟乘法口訣表就行了，更不要說(shuō)加減法，多做些題，孩子就記住了。

恰好，昨天，也有家長(zhǎng)在群里問(wèn)我《如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感》里面的一段話意思，那段文章，正好點(diǎn)明了：讓兒童理解數(shù)數(shù)關(guān)系，運(yùn)算之間的關(guān)系，這個(gè)過(guò)程中，孩子的數(shù)感會(huì)得到發(fā)展。孩子的數(shù)學(xué)能力之間逐漸產(chǎn)生分化，比如11歲的孩子的數(shù)學(xué)能力并不會(huì)比7歲孩子能力強(qiáng)，而有些11歲孩子則表現(xiàn)出相當(dāng)于14歲孩子的能力（Cockcroft，1982），其主要問(wèn)題在于，那些數(shù)學(xué)思維發(fā)展緩慢的孩子，不能夠辨別出數(shù)字之間的關(guān)系。

這說(shuō)明什么呢？我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)的，數(shù)學(xué)是研究“關(guān)系”的學(xué)問(wèn)，強(qiáng)調(diào)不要用記憶的方式教數(shù)學(xué)。如果要回答家長(zhǎng)，為什么教計(jì)算還要按照上面三步來(lái)走，答案就是，與從頭到尾都是死記硬背進(jìn)行計(jì)算的孩子相比，能夠分三步訓(xùn)練的孩子，既可以達(dá)到計(jì)算的熟練度，又滿足了對(duì)數(shù)字關(guān)系的理解，他們真正獲得的是對(duì)數(shù)字關(guān)系的理解，是數(shù)學(xué)思維的提升。而死記硬背只能讓孩子原地踏步。

下面以加法為例，給大家分享一下DK的數(shù)學(xué)圖。

這些圖片選自下面這本書，私人分享，請(qǐng)勿盜用圖片。

第一張圖

加法與數(shù)軸上的跳躍對(duì)應(yīng)

兒童能夠發(fā)明的算術(shù)就是1＋3＝1＋1＋1＋1＝4

在遞增關(guān)系中通過(guò)計(jì)數(shù)理解加法

第二張圖

乘法與加法的關(guān)系

無(wú)論是算式還是圖式，都展示了數(shù)量關(guān)系

在矩形圖式中重構(gòu)排列組合

第三張圖

加減運(yùn)算，包括負(fù)數(shù)，在數(shù)軸上的表現(xiàn)

小學(xué)生還沒(méi)有學(xué)到負(fù)數(shù)，在正整數(shù)范圍內(nèi)建立數(shù)軸的心理意象很重要

第四張圖

十進(jìn)制下數(shù)的構(gòu)成

體現(xiàn)了位值的涵義

數(shù)的整體部分關(guān)系在拆分中充分體現(xiàn)

第五張圖

分?jǐn)?shù)的加法

或者不如說(shuō)分?jǐn)?shù)的涵義

也在整體部分關(guān)系的圖中清晰呈現(xiàn)

第六張圖

“平衡”是兒童從算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展

其中需要孩子理解的非常重要的一個(gè)特性

用天平意象可以給小年齡段的孩子展示這種平衡機(jī)制

第七張圖

在算式中，體現(xiàn)出來(lái)的守恒性和結(jié)合律

色塊形成的線段體現(xiàn)了等式兩邊的關(guān)系

也屬于有關(guān)于整體部分關(guān)系的某一項(xiàng)認(rèn)知

第八張圖

第九張圖

有關(guān)于斐波納契的數(shù)學(xué)故事

是數(shù)學(xué)老師津津樂(lè)道的

每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和

這種數(shù)學(xué)關(guān)系會(huì)出現(xiàn)或被應(yīng)用到許多領(lǐng)域：

帕斯卡三角形、二項(xiàng)式、概率、黃金分割、數(shù)學(xué)恒等式、星球自然等等

第十張圖

模式規(guī)律是數(shù)學(xué)啟蒙非常重要的一點(diǎn)

但是并不是孩子背誦出246810就可以了

很顯然，規(guī)律的識(shí)別需要孩子充分認(rèn)識(shí)到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系

這種關(guān)系往往是千變?nèi)f化的，

需要充分形成數(shù)字網(wǎng)絡(luò)才能勝任多樣化的題

第十一張圖

代數(shù)思維建立在對(duì)代數(shù)運(yùn)算關(guān)系的理解上

代數(shù)算式的表征，也是建立在算術(shù)表征的基礎(chǔ)上的

沒(méi)有在算術(shù)思維層面上對(duì)數(shù)量關(guān)系有深刻的理解

進(jìn)入初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，將會(huì)在代數(shù)領(lǐng)域遇到更大阻礙

希望家長(zhǎng)們耐心看完十一張圖了，這里每一張圖，都在展示的是“關(guān)系”，每一張圖也都在揭示，運(yùn)算的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，以及啟發(fā)我們應(yīng)當(dāng)如何去培養(yǎng)孩子的數(shù)感，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。

如果你讓孩子死記硬背，孩子會(huì)討厭數(shù)學(xué)；

如果你讓孩子理解關(guān)系，孩子會(huì)愛上數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)公式，算式的表達(dá)，符號(hào)的表達(dá)，都是簡(jiǎn)潔的，但是并不是讓孩子背誦幾遍，能夠?qū)懴聛?lái)就是過(guò)關(guān)。所有孩子遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都會(huì)集中在，教育中缺乏讓兒童認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的引導(dǎo)。